GESP 八级 · GESP 202312 C++ 八级 第 17 题

一个袋子中有 $3$ 个完全相同的红色小球、$2$ 个完全相同的蓝色小球。每次从中取出 $1$ 个，且不放回袋子，这样进行 $3$ 次后，将取出的小球依次排列，则可能的颜色顺序有 $7$ 种。

拿到题先别急着套公式，看清关键词'颜色顺序'和'完全相同'。这类题本质是枚举颜色构成，再算每种构成下的排列数。球少时直接枚举最稳，别被'组合'字眼带偏。

学生最容易掉进两个坑：一是把'颜色顺序'误当'颜色构成'，只数出RRB、RBR、BRR这3种，忘了全红、全蓝各占1种；二是看到'完全相同'就下意识用组合数C(3,2)去算，结果漏掉顺序差异。命题人专设这种陷阱，让你以为在考组合，实则考的是有限重复元素的排列。

这道题考查排列组合中'相同元素排列'与'枚举分类'的结合。命题人故意用'完全相同'的小球和'颜色顺序'的表述，就是想卡住只会背公式的学生——你背了C(3,2)却忘了R,R,B和R,B,R是两种不同序列。

拿到题先想什么？先判断是否考虑顺序。题目问'颜色顺序'，说明R,R,B和R,B,R算两种，必须用排列。但因为有重复元素，直接套P(n,m)容易乱，稳妥做法是分类讨论：先固定颜色构成，再算排列。

第一步，枚举取出3个球的颜色构成。袋子有3红2蓝，取3个球，可能的构成只有三种： 1) 3红0蓝：RRR，只有1种； 2) 2红1蓝：R,R,B三个位置，蓝球可放第1、2、3位，共3种（RRB、RBR、BRR）； 3) 1红2蓝：R,B,B三个位置，红球可放第1、2、3位，共3种（RBB、BRB、BBR）。

第二步，把三类加起来：1+3+3=7种。这就是答案。

这类题通法：先问'颜色构成有哪些'，再对每种构成用'全排列除以重复元素阶乘'或直接枚举（球少时枚举更稳）。错项陷阱常设两处：一是把R,R,B当成只有1种（组合思维），二是漏掉全红/全蓝情况（边界条件）。若按C(3,2)算只得到3，却忘了R,R,R和B,B,B各贡献1种。命题人故意用'完全相同'暗示你忽略顺序，实则要考你'颜色顺序'的排列。

若改成'放回抽3次'，序列数会暴增到5^3=125；若改成'抽4次'，组合就变(3红1蓝)(2红2蓝)(1红3蓝)共3+6+1=10种。记住：球少时枚举比公式更可靠，先问'颜色构成有哪些'再排。

考频趋势上，组合数学在GESP八级共58题，排列组合基础也达58题，说明这类'有限重复元素排列'是高频考点。2025年题库中组合数学考了38题，排列组合考了43题，呈上升趋势，未来命题仍可能继续挖'相同元素+顺序'的坑。暂无足够依据预测具体年份题型，但建议复习时重点练枚举分类与去重技巧。