GESP 七级 · GESP202609 C++ 七级 第 4 题

从 $4 \times 5$ 个点连接成的网格的左上角走到右下角，每次只能向右或向下移动，不同的路径共有（　　）条。

看到"网格路径"先想组合数公式。n×m 格点（即 (n−1)×(m−1) 个格子）从左上到右下只允许向右、向下，总步数固定为 (n−1)+(m−1)，只需从中选若干步向右（或向下）即可，路径数 = C(n+m−2, n−1)。本题选项 35 对应 C(7,3)，说明网格为 4×5 格点（3 行 4 列格子）。

A 项 20 是 C(6,3)，误把格点数当格子数或把 4×4 格点当成 4×5；C 项 70 是 C(8,4)，对应 5×5 格点；D 项 126 是 C(9,5)，对应 6×6 格点。题目"每次只能向右或向下"是绝对约束，任何"斜向""可回头"的偷换都会让答案暴增。

看到"网格路径"先想组合数公式。n×m 格点（即 (n−1)×(m−1) 个格子）从左上到右下只允许向右、向下，总步数固定为 (n−1)+(m−1)，只需从中选若干步向右（或向下）即可，路径数 = C(n+m−2, n−1)。本题选项 35 对应 C(7,3)，说明网格为 4×5 格点（3 行 4 列格子）。

A 项 20 是 C(6,3)，误把格点数当格子数或把 4×4 格点当成 4×5；C 项 70 是 C(8,4)，对应 5×5 格点；D 项 126 是 C(9,5)，对应 6×6 格点。题目"每次只能向右或向下"是绝对约束，任何"斜向""可回头"的偷换都会让答案暴增。

1. 考纲定位

本题考查 GESP 七级《组合数学》模块。命题人把这道题放在七级，卡住的是"把几何约束翻译成组合数"的能力——六级学生能枚举小网格，七级必须一眼看出总步数固定、只选方向，否则会在 4×5 格点这种稍大一点的规模上陷入暴力枚举。