CSP-S 提高级 · CSP 2026 提高级第一轮 第 5 题

【单选】3^2026 mod 100 的值是（ ）。

3 与 100 互质，幂次模 100 一定循环。先找循环节：3²⁰ ≡ 1 (mod 100)，所以只看指数对 20 取模。2026 mod 20 = 6，算 3⁶ = 729，取后两位即 29。

用 Fermat 小定理的 φ(100) = 40 直接取模（2026 mod 40 = 26，需要算 3²⁶ 反而更麻烦，且容易算错）；或把 729 的末两位错取成 729 本身。

解析

本题考查同余运算与循环节（幂的周期性）。

第一步：确定循环节长度

因为 gcd(3, 100) = 1，3 的幂模 100 必然循环。逐次平方试探：

• 3² = 9
• 3⁴ = 9² = 81
• 3⁸ ≡ 81² = 6561 ≡ 61 (mod 100)
• 3¹⁶ ≡ 61² = 3721 ≡ 21 (mod 100)
• 3²⁰ = 3¹⁶ × 3⁴ ≡ 21 × 81 = 1701 ≡ 1 (mod 100) ✓

得到 3²⁰ ≡ 1 (mod 100)，即周期 T = 20（正好等于 φ(100) = 40 的一半，3 是模 100 的 20 阶元）。

第二步：把指数降到周期内

2026 ÷ 20 = 101 余 6，所以

3²⁰²⁶ = (3²⁰)¹⁰¹ × 3⁶ ≡ 1¹⁰¹ × 3⁶ = 3⁶ (mod 100)

第三步：算出结果

3⁶ = 729 → 729 mod 100 = 29

答案 A（29）。

其他选项为什么错

• B. 9 = 3²，指数取模算成了 2；
• C. 43 = 3⁵ = 243 的末两位，指数少 1；
• D. 81 = 3⁴，同样是余数取错。

拓展：更快的降幂手法

• 欧拉定理：若 gcd(a, m) = 1，则 a^φ(m) ≡ 1 (mod m)。本题 φ(100) = 100×(1−1/2)×(1−1/5) = 40，故可用 2026 mod 40 = 26 降幂；但 3²⁰ ≡ 1 说明真实周期更小，找到最小正周期才是最快路径；
• 快速幂手算：把指数写成二进制 2026 = 11111101010₂，用"平方-乘"逐位累乘，适合写程序时使用。

记忆点

• 模 10^k 的幂次循环通常较短（模 100 时很多底数的周期是 20），先平方试探再降幂；
• "求末两位"就是 mod 100，结果要写成两位（29 而不是 29 之外的 029 之类）。