CSP-S 提高级 · CSP 2020 提高级第一轮 第 10 题

—个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班的学生人数 $n$ 在以下哪个区间？已知 $n<60$。( ）

别急着套公式，n<60范围太小，直接从满足'除以3余2'的数里一个个过筛，看谁同时满足另外两个条件，最快最稳。

最容易把'每组三人就多两人'理解反，写成除以2余3；或者看到三个条件就以为只要满足其中一个就行，忘了题目是'且'的关系；还有人会忽略n<60这个限制，把后面更大的解（比如53+105=158）也算进去，导致区间判断出错。

这道题考的是数论里的同余与模运算，顺便也是那个著名的'韩信点兵'问题。命题人挖坑很典型：一是文字陷阱，'每组三人就多两人'意思是n除以3余2，不是除以2余3；二是逻辑陷阱，三个条件是同时成立的'且'关系，不是随便挑一个满足就行；三是范围陷阱，给了n<60，其实就是为了让你别去算后面那些超大的解。

拿到题先想什么？既然n<60，直接枚举最省事。先抓最粗的筛子：n除以3余2。在60以内，这样的数有：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, 50, 53, 56, 59。接下来用第二个条件筛：n除以5余3。把上面这一串过一遍，能同时满足两个条件的数只剩：8, 23, 38, 53。再套第三个条件：n除以7余4。8÷7余1，23÷7余2，38÷7余3，只有53÷7余4，完美命中。

所以n=53。题目问的是区间，53显然落在50<n<60这一段，选C。

如果想看更'数学'的推导，也可以先合并后两个条件：n=5k+3且n≡4(mod 7)，解得n=35m+18；再结合n≡2(mod 3)，得到n=105t+53。当t=0时n=53，t=1时n=158已经超60了，所以53是唯一的解。这里模数3、5、7两两互质，乘积105就是所有解的周期，中国剩余定理保证了这种合并的合法性。

避坑点再强调一遍：同余式千万别读反，三个条件必须同时满足，而且一定要盯着n<60这个上限。这种题在CSP提高级里属于数论基础中的同余与模运算，考频不算低，2020年这道题就是典型代表，之后几年也零星出现过类似变体。未来如果继续考，大概率还是这种'给几个同余条件+范围限制'的组合，要么让你直接算数，要么稍微放大范围让你用CRT合并再取模，难度不会突增，但细节陷阱会更多。