CSP-S 提高级 · CSP 2024 提高级第一轮 第 4 题

在一场比赛中，有 $10$ 名选手参加，前三名将获得金、银、铜牌。若不允许并列，且每名选手只能获得一枚奖牌，则不同的颁奖方式共有多少种？

这道题考排列组合里的排列。拿到题先想：金、银、铜是三个不同的位置，顺序不一样结果就不一样，所以不是选出来就算完，得把顺序排进去。直接按位置一个个填，10 人选金牌，剩下 9 人选银牌，再剩 8 人选铜牌，连乘就是答案。

最容易掉坑的是把排列当组合，只算选出哪三个人获奖，忘了金、银、铜是有区别的。比如误选 A 项 120，其实就是 C(10,3)，只考虑了‘谁获奖’没考虑‘谁拿什么奖’。还有少数人会把铜牌当成没区别，或者把三个位置当成无序集合，结果都偏小。记住：只要题目里出现了‘一等奖、二等奖、冠军、亚军’这种带顺序的名词，立马切换到排列思维。

考点与概念

这道题考查的是排列组合中的排列概念。排列是指从 n 个不同元素中取出 m 个元素，按照一定的顺序排成一列。公式为 $P(n,m) = \frac{n!}{(n-m)!}$，也可以理解为从 n 开始连续乘 m 个数。与之相对的是组合，组合不考虑顺序，只关心选了哪些元素。关键区别在于：排列看顺序，组合不看顺序。

命题视角

命题人特别喜欢用‘金、银、铜’‘冠亚季军’‘一等奖、二等奖’这种有明确等级之分的场景来考排列。这类题目的陷阱通常就藏在‘顺序’二字上——如果选手之间没有区别，或者奖项没有先后之分，那就是组合；但只要奖项有高低、有区别，就必须考虑顺序，否则就会漏掉大量情况。

思考心法

拿到题先想：这三个位置（金、银、铜）是不是不一样的？显然是的。那能不能按位置一个个填？

• 先填金牌：10 个人里随便挑一个，有 10 种选法。
• 再填银牌：金牌已经占了一个人，剩下 9 个人里挑一个，有 9 种选法。
• 最后填铜牌：金银铜已经占了两个人，剩下 8 个人里挑一个，有 8 种选法。

根据乘法原理，把每一步的可能性相乘，就是总的颁奖方式数。

计算过程

$10 \times 9 \times 8 = 720$ 或者用排列公式验证：$P(10,3) = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$

避坑指南

最容易错选的是 A 项 120，那是 $C(10,3)$ 的结果，相当于只考虑‘哪三个人获奖’，完全忽略了‘谁拿什么奖’。比如张三、李四、王五三人获奖，如果只算组合，张三拿金牌、李四拿银牌、王五拿铜牌，和李四拿金牌、张三拿银牌、王五拿铜牌，会被当成同一种情况，这显然是不对的。所以看到‘金、银、铜’这种有顺序的奖项，千万别用组合公式。

考频与趋势

排列组合基础在题库中已考过 147 题，覆盖 8 个考试级别，从 2007 年到 2026 年分布较为均匀，其中 2023 年 19 题、2024 年 40 题、2025 年 43 题是近年高频段，说明这类题型在 CSP 提高级等考试中持续热门。计数原理相关题目共 36 题，近年考频也呈上升趋势（2024 年 5 题、2025 年 5 题）。分赛事来看，CSP 提高级占 15 题，CSP 入门级 13 题，NOIP 提高组初赛 7 题，显示该知识点在多个赛段都有稳定考查。

预测

基于近年考频数据，排列组合基础在未来几年仍将是 CSP 提高级等考试的常考内容，尤其喜欢结合‘奖项顺序’‘名次区分’等实际场景出题。考生需熟练掌握排列与组合的区别，以及乘法原理、排列公式的灵活运用，才能在类似题目中快速准确作答。