CSP-S 提高级 · CSP 2024 提高级第一轮 第 12 题

设有一个 $10$ 个顶点的完全图，每两个顶点之间都有一条边。有多少个长度为 $4$ 的环？

这题核心就是选点再排环。先从10个点里挑4个，再算这4个点在完全图里能摆出多少种无向环，两者相乘就行。

最容易栽跟头的就是环排列公式记混。很多人会直接套(n-1)!算成6种，或者忘了除以2把顺逆时针当成不同，结果算出420。还有的同学把完全图想复杂了，觉得边不够连不成环，其实K10里任意4个点都能两两相连，只要点选对了，环肯定有。

考点与概念

这道题考的是组合数学里的两个基础工具：组合数 C(n,k) 和环排列。完全图 K_n 的定义很简单，就是任意两个顶点之间都有一条边，所以在 K_10 里，只要选出4个不同的顶点，它们之间肯定能连成环，不用管边够不够。

什么是环排列？把 n 个不同元素围成一圈，旋转后重合的算同一种，所以是 (n-1)!。但题目问的是“无向环”，也就是说，顺时针 A-B-C-D 和逆时针 A-D-C-B 是同一条边序列（只是方向反了），必须再除以 2。所以 4 个点的无向环排列数是 (4-1)! / 2 = 3。

命题视角

命题人特别喜欢在这种完全图里挖坑，表面看是图论，其实纯粹是排列组合。他们不会让你去枚举边，而是让你意识到“任意4个点都能成环”这个隐含条件，然后重点考察你是否记得环排列要除以2。如果不除以2，答案就是 210×6=1260，选项里没有，这就能帮你排除错误思路。

思考心法

拿到题先想：长度为4的环，本质是4个不同顶点的有序序列，首尾相连。在完全图里，只要点选出来，边肯定存在，所以问题简化为：选点 + 排环。

第一步，从10个点里选4个，用组合数 C(10,4)。计算一下：10×9×8×7 / (4×3×2×1) = 210。

第二步，这210组点，每组能排成多少个无向环？按公式 (4-1)! / 2 = 3。

第三步，总数就是 210 × 3 = 630。

避坑指南

最容易错的就是忘记除以2，把环当成有向的，那样会多算一倍，得到 1260，显然不在选项里。还有的同学会把环排列误记成 n! 或 (n-1)! 不加修正，导致数值偏差。记住：无向环一定要除以2。

考频与趋势

排列组合基础在题库里考过147题，覆盖所有级别，2024年有40题，2025年有43题，2026年有12题，说明这类题目近年是高频考点，尤其是 CSP 提高级和 GESP 八级。计数原理单独考过36题，2024年有5题，2025年也有5题，可见命题人持续喜欢考“选点+排环”这种复合操作。

预测

基于数据，未来几年这类题目仍会高频出现，但形式可能会更隐蔽，比如把“长度为4的环”换成“长度为6的环”或“长度为5的环”，或者在不完全图中加限制条件。不过核心思路不变：先选点，再算环排列，别忘了除以2。暂无足够依据预测具体年份的题型变化，但掌握这个模型足以应对绝大多数变式。