CSP-S 提高级 · CSP 2023 提高级第一轮 第 2 题

$0,1,2,3,4$ 中选取 $4$ 个数字，能组成（）个不同四位数（注：最小的四位数是 $1000$ 最大的四位数是 $9999$）。

这道题考的是有限制条件的排列组合。拿到题先别急着套公式，一眼看出数字有0，凑齐四位数时0不能当千位。最稳的打法是'先定后排'：先把千位从非零里挑一个，剩下的位置再从余下的四个数里全排，两步相乘就是答案。

最容易踩的两个坑：一是完全忽略0的限制，直接算P(5,4)=120，把0012这种假四位数也算进去了；二是想用组合C(5,4)先选数再全排列，结果还是120，本质上和第一种错误一样，都是没把'千位≠0'这个条件真正落地。记住，只要看到'四位数'，千位永远不能是0，这是硬约束，排组合题里90%的坑都在这。

考察知识点： 排列组合中的'有限制条件的排列'，核心是处理'首位不能为0'这类约束。

概念厘清： 题目给的是{0,1,2,3,4}这五个数字，要选4个不同数字组成四位数。关键限制是：最小的四位数是1000，意味着千位（首位）绝对不能是0，否则就变成三位数或更少位数了。这是排列题里最常见的'陷阱'。

命题人视角： 这类题命题人特别喜欢挖'0不能打头'的坑。如果考生看到'从5个数选4个排列'，下意识直接套P(5,4)=120，就掉进陷阱了。正确解法必须体现出'先处理特殊位置（千位），再处理其余位置'的思路。

思考心法与计算： 拿到题，先确定千位。千位只能从{1,2,3,4}里选，有4种选择。千位选定后，剩下3个位置（百、十、个）要从余下的4个数字（含0）里选3个进行排列，即P(4,3)=4×3×2=24种。根据乘法原理，总数=4×24=96。

避坑提醒： 千万别用'先选数再全排'的思路（C(5,4)×4!=120），因为这样会把0在千位的情况也计进去了，违背了'四位数'的定义。同理，直接P(5,4)也是错的，因为它默认五个位置都能放任何数字，没考虑0不能当千位。

考频与趋势： 根据题库数据，'排列组合基础'考点在历年考试中非常活跃，2023年高达19题，2024年激增至40题，2025年更是达到43题，呈现明显的上升趋势，说明该知识点是高频考点。'计数原理'相关考点2023-2025年也分别考了3、5、5题，同样处于高位。分赛事看，CSP提高级15题、GESP八级58题，说明从入门到提高级，排列组合都是必考内容，尤其是GESP八级占比最高，提示学生在早期就要打好这个基础。

预测： 鉴于2024-2025年该类题目数量持续攀升，且CSP提高级、GESP八级等核心赛事中占比稳定，未来（2026及以后）继续高频考查'有限制条件的排列'（如首位不能为0、数字不能重复等）的可能性极大。题目形式可能从纯计算转向更复杂的场景（如给定数字集合、限制某位数字出现次数等），但'先处理特殊位置'的核心思想不会变。暂无足够依据预测具体年份的题量变化，但趋势是明确的：该考点会越来越重要。