CSP-J 入门级 · CSP 2023 入门级第一轮 第 18 题

3.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int solve1(int n){
    return n*n;
}

int solve2(int n){
   int sum=0;
   for(int i=1;i<=sqrt(n);i++){
        if(n%i==0){
            if(n/i==i){
                sum+=i*i;
            }else{
                sum+=i*i+(n/i)*(n/i);
            }
        }
    }
    return sum;
}
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    cout<<solve2(solve1(n))<<" "<<solve1((solve2(n)))<<endl;
    return 0;
}

假设输入的 $n$ 是绝对值不超过 $1000$ 的整数，完成下面的判断题和单选题。

判断题

1. 如果输入的 $n$ 为正整数，solve2 函数的作用是计算 $n$ 所有的因子的平方和（ ）

2. 第 $13\sim 14$ 行的作用是避免 $n$ 的平方根因子 $i$（或 $n/i$ ）进入第 $16$ 行而被计算两次（ ）

3. 如果输入的 $n$ 为质数，solve2(n) 的返回值为 $n^2+1$（ ）

单选题

4. （4分）如果输入的 $n$ 为质数 $p$ 的平方，那么 solve2(n) 的返回值为（ ）

5. 当输入为正整数时，第一项减去第二项的差值一定（ ）

6. 当输入为 5 时，输出为（ ）

这题核心是读懂solve2的因子遍历逻辑，特别是sqrt(n)处去重，以及把n²与solve2(n)的平方这两个量级完全不同的数对比。

学生容易把solve2(n²)当成‘n²的因子和’，或者误以为solve2(n)增长极快导致差值为正，忽略了n²的因子数量级远多于n，且平方和公式是多项式级增长，差值往往非正。

这道题考查循环结构中的因子遍历、平方根处去重逻辑，以及数论中因子的平方和性质。命题人喜欢挖坑在：1) 循环边界i<=sqrt(n)时，若n是平方数，中间那个因子会被重复算，所以必须特判n/i==i的情况；2) 把solve2(solve1(n))和solve1(solve2(n))混为一谈，前者是n²所有因子的平方和，后者是‘n的因子平方和’再平方，两者量级天差地别。拿到题先想：solve2(n)到底算啥？就是n所有因子的平方和。然后看main里两个输出：第一个是solve2(n²)，第二个是(solve2(n))²。接下来逐问推演。判断题1：solve2对正整数n确实计算所有因子的平方和，正确。判断题2：13-14行判断n/i==i，若成立只加一次i²，否则加i²+(n/i)²，这正是避免平方根因子被算两次的特判，正确。判断题3：质数n只有因子1和n，平方和就是1²+n²=n²+1，正确。单选题4：n=p²，因子有1、p、p²，平方和=1²+p²+(p²)²=1+n+n²，选B。单选题5：第一项solve2(n²)减去第二项(solve2(n))²。n=1时差为0；n=2时，solve2(2)=5，solve2(4)=21，21-25=-4<0；n=5时，solve2(5)=26，solve2(25)=651，651-26²=651-676=-25<0。可见差值非正，但不恒小于0，选D。单选题6：输入5，s1(5)=25，solve2(25)=1+25+625=651；solve2(5)=26，s1(26)=676，输出651 676，选C。考频趋势上，循环结构近年在CSP入门级考得极频，2023年77题、2024年128题、2025年158题，这类‘读程序+数论小陷阱’的组合题大概率还会出现在入门级或GESP四级、五级，命题人可能会换成正负数混合输入或更大范围n来测试边界。暂无足够依据预测具体年份，但这类题型未来仍会高频出现。