CSP-J 入门级 · CSP 2021 入门级第一轮 第 12 题

由 $1,1,2,2,3$ 这五个数字组成不同的三位数有（ ）种。

别急着套公式，这道题的坑在于数字有重复。拿到题先想：能不能把三个数选出来？能选出的数字组合只有哪几种？选好后，同数字的排列怎么算？按组合分类，再乘排列数，最后加总。

最容易犯的错就是看到5个数字直接想用 P(5,3) 算出来 60，或者觉得只有 1,1,2,2,3 这几种组合就漏掉了‘两个2’的情况。还有个隐蔽坑是算重了：比如算‘两个1’时，把另一个数选2和选3分开算，结果1,2,1和1,1,2被当成不同情况，其实只要关注‘哪两个数相同’，再乘上剩下那个数的选择，就不会重复。

考察知识点：排列组合中的“有重复元素排列”以及分类讨论思想。这是 CSP 入门级里非常经典的题型，命题人爱在这里挖坑，因为学生容易惯性思维，看到 n 个数字选 m 个就直接用排列公式，忽略了数字本身有重复的事实。这道题的陷阱在于：数字集合是{1,1,2,2,3}，不是互不相同的五个数字。如果直接用 P(5,3)，会把两个1当成不同个体，把两个2也当成不同个体，导致结果远大于实际不同的三位数个数。所以，解题的第一步必须是“分类”，按能组成的数字组合类型来分。拿到题，我先想：从这五个数字里挑三个，能挑出哪些不同的数字组合？因为有两个1和两个2，所以组合类型只有三种：要么三个数字都不一样（只能是1,2,3）；要么有两个1和一个其他数（其他数只能是2或3）；要么有两个2和一个其他数（其他数只能是1或3）。这就把问题拆解成了三个互不重叠的小问题，只要把每个小问题的数量算准，加起来就是答案。第一种情况，三个数字是1,2,3，互不相同，全排列就是 3! = 6 种。第二种情况，有两个1，剩下那个数可以是2或3，共2种选择。对于每一种选择，比如选了1,1,2，这三个数排成三位数，因为两个1相同，排列数要除以2!，即 3!/2! = 3 种。所以这一类总数是 2 × 3 = 6 种。第三种情况，有两个2，剩下那个数可以是1或3，也是2种选择。同理，每种选择的排列数是 3!/2! = 3 种，总数也是 2 × 3 = 6 种。最后把三类加起来：6 + 6 + 6 = 18 种。这个答案对应选项 A。为了保险，我再快速验证一下有没有漏掉或重复：有没有可能三个数里既有1又有2，还再加一个1？那就是两个1一个2，已经包含在第二类里了。有没有可能三个数里既有1又有2，还再加一个2？那就是两个2一个1，已经包含在第三类里了。有没有可能三个数里有两个1和两个2？不可能，题目只选三个数。所以分类是完备且不重叠的。这道题的考频趋势很明显，排列组合在近年 CSP 和 GESP 中占比越来越高，尤其是入门级和普及级，2023-2026 年考得特别密集，说明命题人非常看重学生处理重复元素的能力。预测未来，这类题可能会继续以“从有重复数字的集合中选若干组成数”的形式出现，或者稍微变化一下，比如给个具体的数字集合问能组成多少个不同的两位数或四位数，核心还是分类讨论 + 去重排列。总之，做题时千万别被数字的个数迷惑，一定要先看清哪些数字是重复的，然后按组合类型分类，最后用排列数公式算，就能稳稳拿分。