CSP-J 入门级 · CSP 2021 入门级第一轮 第 10 题

$6$ 个人，两个人组一队，总共组成三队，不区分队伍的编号。不同的组队情况有（ ）种。

这题核心是'平均分组'。拿到题先想：6人选2人，剩下4人选2人，最后2人自动成组。但别忘了组号不区分，最后必须除以3!才得正解。

学生最容易栽在两个坑：一是算出90就选了，忘了除以3!（把不区分组号当成区分组号）；二是公式记混，以为要除以2!或4!，其实三组人数完全相同，必须除以组数的全排列3!。另外，有些同学会误以为C(6,2)×C(4,2)×C(2,2)直接就是答案，没意识到那只是按顺序选组的数，组与组之间互换位置算同一种，所以多算了6倍。

考察知识点：排列组合 — 平均分组问题（不区分组的分组）。这是组合数学里的经典模型，也是 CSP 入门级高频考点。

概念厘清： 我们要把6个人分成3个组，每组2人，且组与组之间没有编号区别（即{A,B},{C,D},{E,F}和{C,D},{A,B},{E,F}是同一种分法）。这种'平均分组'（各组人数相同）的计算公式是：

总选法 = C(6,2) × C(4,2) × C(2,2) ÷ 3!

逐步推导： 1. 第一步：从6人中任选2人组成第一组，有 C(6,2) = 15 种选法。 2. 第二步：从剩下的4人中任选2人组成第二组，有 C(4,2) = 6 种选法。 3. 第三步：最后剩下的2人自动成组，只有 C(2,2) = 1 种选法。

此时我们得到的结果是 15 × 6 × 1 = 90。但这90种情况里，组是有顺序的（先选的组算第一组，后选的算第二组）。题目要求'不区分队伍编号'，也就是说，只要三组的人构成一样，无论怎么选出来的顺序，都算同一种情况。

因为三组人数完全相同（都是2人），任意两组交换位置都会产生重复计数。3个组的全排列数是 3! = 6。所以必须把90除以6，才能得到真正不重复的分组数：

90 ÷ 6 = 15

验证：列举法佐证。设6人为 A,B,C,D,E,F。固定 A 所在的组，A 可以和 B,C,D,E,F 中的任一人组队（5种）。剩下的4人再分成两组，每组2人，共有 C(4,2)×C(2,2)÷2! = 3 种。所以总数是 5 × 3 = 15 种，与公式结果一致。

易错点提醒：

• 看到 C(6,2)×C(4,2)×C(2,2) = 90 就选 90 的选项（本题无此选项，但其他题可能有），这是典型的'忘记除以组数全排列'。
• 误以为要除以 2! 或 4!，那是分组人数不完全相同（如 3,2,1）时的处理方式，本题三组人数相等，必须除以 3!。

考频与趋势： 从题库数据看，排列组合基础在2025年考了43题、2024年40题、2023年19题，呈现明显上升趋势，说明命题人越来越喜欢用这类'分组分配'的变式题来考察学生的思维严谨性。计数原理方面，CSP 入门级已考过13题，且2021年考了3题，说明入门级对这类基础但易错的概念抓得很紧。

未来预测： 基于近年考频飙升和入门级侧重基础概念的趋势，未来几年（2026-2027）在入门级或GESP六级中，大概率会继续出现'平均分组'或'非平均分组'的变式，比如'6人分3组，其中一组3人、另外两组各1人'，或者'7人分3组，人数分别为3,2,2'。这类题目本质仍是'先算有序分组再除以组数全排列'，只是数字组合更复杂，容易让人算错阶乘。因此，掌握'先乘后除'的通用套路至关重要。

综上，本题答案为 15，选 B。