NOIP 提高组初赛 · NOIP 2018 提高组初赛试题 第 9 题

假设一台抽奖机中有红、蓝两色的球，任意时刻按下抽奖按钮，都会等概率获得红球或蓝球之一。有足够多的人每人都用这台抽奖机抽奖，假如他们的策略均为：抽中蓝球则继续抽球，抽中红球则停止。最后每个人都把自己获得的所有球放到一个大箱子里，最终大箱子里的红球与蓝球的比例接近于（ ）。

这题别被'足够多的人'绕晕，核心就是算单个人的期望。每人必得一个红球，蓝球呢？抽中蓝继续、抽中红就停，这就是个典型的几何分布，算一下蓝球期望值，答案自然出来了。

最容易犯的错误是觉得'平均每人抽两次，一次蓝一次红'，于是红蓝各占一半，比例1:1；或者把蓝球期望算成0.5，觉得蓝比红少。其实这里蓝球期望严格等于1，和每人必得的1个红球持平。还有人会纠结'抽中蓝继续'会不会导致蓝球无限多，其实概率衰减很快，期望收敛得很稳。

考点概念：几何分布

这道题考的是期望计算，本质是几何分布的应用。每人抽球序列必然是'若干蓝球后接一个红球'，比如蓝蓝红、蓝红、红等。红球每人必得1个，所以红球总数就是人数N。

命题视角：为什么考这个？

命题人喜欢用'大量人'来掩盖随机性，让你觉得好像要算极限分布，其实只要算单个人的期望，用大数定律直接乘以N就行。他们爱挖的坑是：让你误以为蓝球会越来越多（因为蓝球可能连续抽），或者让你把'抽中蓝继续'当成'蓝球概率累积'，结果算出蓝球期望远大于1。