NOIP 提高组初赛 · NOIP 2018 提高组初赛试题 第 7 题

在一条长度为 $1$ 的线段上随机取两个点，则以这两个点为端点的线段的期望长度是（ ）。

这题别急着套公式，先想清楚几何意义：两个点在单位正方形里随机撒，求它们横坐标差的绝对值的平均值。把正方形沿对角线切开，算出一半的积分再乘2，或者用对称性直接算三角形面积，答案立马出来。

最容易掉进'1/2'这个坑，那是把两个点坐标简单平均的直觉，完全忽略了'绝对值'带来的非线性；还有人会误以为是1/4，那是把期望算成方差或者搞混了区间长度；还有人积分时忘记对称性，只算了一半区域，结果少乘了2，最后变成1/6。记住，单位正方形里|x-y|的平均值，几何上就是两个小三角形面积和的平均高度，千万别用线性思维硬套。

考点概念：几何概率与期望

X、Y 独立均匀分布在 [0,1] 上。

E[|X−Y|]：在单位正方形 [0,1]×[0,1] 上对 |x−y| 求平均。

由对称性（|x−y| 在 x>y 与 x<y 两半区域对称）： E[|X−Y|] = 2 × ∫∫_{x>y} (x−y) dxdy = 2 × (1/6) = 1/3

选 B。

命题视角：为什么考这个？

命题人想考的是'几何概率'与'期望'的结合。这题看似简单，其实是个经典的几何概率模型：两个点在线段上随机取，求它们之间距离的期望。这类题目在信息学竞赛中经常出现，因为它能考察学生对概率分布的理解，以及对积分和对称性的运用。