NOIP 提高组初赛 · NOIP 2017 提高组初赛试题 第 15 题

欢乐喷球：儿童游乐场有个游戏叫“欢乐喷球”，正方形场地中心能不断喷出彩色乒乓球，以场地中心为圆心还有一 圆形轨道，轨道上有一列小火车在匀速运动，火车有六节车厢。

假设乒乓球等概率落到正方形场地的每个地点，包括火车车厢。小朋友玩这个游戏时，只能坐在同一个火车车厢里，可以在自己的车厢里捡落在该车厢内的所有乒乓球，每个人每次游戏有三分钟时间，则一个小朋友独自玩一次游戏期望可以得到（ ）个乒乓球。假设乒乓球喷出的速度为 $2$ 个/秒，每节车厢的面积是整个场地面积的 $\dfrac{1}{20}$。 

这题本质就是几何概型求期望，别被火车车厢绕进去，直接抓两个数：3分钟喷出的球总数、车厢占场地比例，相乘就是答案。

最容易犯的错误是把单位搞混，比如把3分钟当成300秒算出3600个球；或者误以为火车在动会影响球落进车厢的概率，其实球是随机落地的，概率只跟面积占比有关；还有人会纠结车厢是连在一起的还是分开的，其实只要算出单节车厢占比再乘以总球数即可，不用管火车怎么跑。

这道题考查的是几何概型与期望的基本概念，命题人喜欢用‘随机落点 + 面积占比’这种简单模型来挖坑，看似有火车、有运动，其实核心只在于‘球等概率落在场地任意位置’这一条，运动是干扰项。

拿到题先想什么？先算总球数。3分钟=180秒，喷球速度2个/秒，所以总球数=180×2=360个。这一步必须把时间单位换算对，很多学生容易把3分钟当成300秒，结果算出3600个球，直接选错。

再想概率。球是随机落地的，落在某块区域的概率等于该区域面积占总面积的比例。题目明确说每节车厢面积是整个场地面积的1/20，所以球落进这一节车厢的概率就是1/20。别被‘火车在动’骗了，球落下来时火车在哪根本不重要，概率只跟面积有关。

期望怎么算？期望=总数×概率，所以期望捡到=360×1/20=18个。这就是答案C。

避坑提醒：1）单位换算要细心，3分钟=180秒不是300秒；2）别把‘车厢连在一起’当成一个整体去算，题目问的是‘一个小朋友独自玩’，只能坐一节车厢，所以只用单节占比；3）别想复杂，火车匀速、轨道形状、喷球高度这些全是干扰，只抓面积比和总数。

从考频趋势看，这类几何概型与期望的题目在NOIP提高组初赛中出现频率中等，近五年每年至少出现1次，常以单选题形式考查基础计算能力，命题人喜欢在时间单位、面积占比上做文章，让学生掉进‘单位陷阱’或‘多乘少除’的坑里。未来这类题很可能继续以‘随机落点+面积占比’为核心，结合简单的时间或数量计算，难度不会大幅上升，主要考验审题和基础运算的准确性。

综上，本题正确答案为C（18个）。