NOIP 提高组初赛 · NOIP 2017 提高组初赛试题 第 14 题

小明要去南美洲旅游，一共乘坐三趟航班才能到达目的地，其中第 $1$ 个航班准点的概率是 $0.9$，第 $2$ 个航班准点的概率为 $0.8$，第 $3$ 个航班准点的概率为 $0.9$。如果存在第 $i$ 个（$i=1,2$）航班晚点，第 $i+1$ 个航班准点，则小明将赶不上第 $i+1$ 个航班，旅行失败；除了这种情况，其他情况下旅行都能成功。请问小明此次旅行成功的概率是（ ）。

别急着算成功概率，逆向思维最快：先把那两种‘旅行失败’的倒霉情形列出来。题目条件很关键——只有‘前一个晚点且后一个准点’才会导致赶不上航班，其他情况（比如都晚点、都准点）反而能转机。算出失败概率后，用 1 减去它，答案立马就出来了。

最容易掉进的坑是误以为只要有一个航班晚点就失败，或者把两个失败情形当成独立事件直接相乘。其实题目明确说了‘存在第 i 个航班晚点且第 i+1 个准点’才失败，这意味着两个失败情形不可能同时发生（互斥），只能相加。另外，算出失败概率后，千万别忘记用 1 减去它得到成功概率，直接选失败概率会错选 B 或 C。

考点概念：概率计算（互斥事件）

这道题考的是概率乘法公式和互斥事件概率相加。核心在于读懂失败条件：只有当第 i 个航班晚点且第 i+1 个航班准点时，旅行才会失败。这意味着两个失败情形（航班 1 晚点且航班 2 准点，或航班 2 晚点且航班 3 准点）不可能同时发生，它们是互斥的，概率可以直接相加。

命题视角

命题人喜欢在这种多阶段事件中挖坑：给出三个独立概率，却只定义了两类失败情形。学生容易忽略‘其他情况旅行成功’这个隐含条件，或者错误地把失败情形当成独立事件处理。这里的关键是识别出‘晚点 + 准点’的组合才是失败，而‘晚点 + 晚点’反而能转机，这是典型的逆向思维陷阱。