NOIP 提高组初赛 · NOIP 2015 提高组初赛试题 第 21 题

在 $1$ 和 $2015$ 之间（包括 $1$ 和 $2015$ 在内）不能被 $4,5,6$ 三个数任意一个数整除的数有_________个。

这道题考容斥原理。别一上来就数不能整除的，太绕。反过来算能被4、5、6任意一个整除的有多少，用总数减掉它，答案就出来了。关键是找准两两的最小公倍数和三个的最小公倍数，别算错数。

最典型的坑是容斥符号搞反：两两交集（20、12、30的倍数）要减去，三者交集（60的倍数）要加回来，很多同学记混成‘两两加、三者减’。还有就是最小公倍数算错，比如把4和6的公倍数当成24，或者把4、5、6的公倍数当成120，导致计数偏差十几二十个，最后结果差很多。

考点概念：容斥原理

这道题考的是容斥原理。核心思想是：当我们要统计满足「至少一个条件」的元素个数时，直接加会重复，需要减去重复的部分，再补回被多减的部分。

命题视角

命题人喜欢用「不能被任意一个数整除」这种表述，其实是想逼你换个角度——算「能被至少一个数整除」的补集。为什么选4、5、6？因为它们的最小公倍数是60，在1到2015这个范围内，60的倍数有33个，数量适中，既能考察计算，又不会让数字大到离谱。如果换成2、3、5，公倍数是30，数量太多容易算错；换成大质数，公倍数又太大。这就是命题人的小心思。