NOIP 提高组初赛 · NOIP 2007 提高组初赛试题 第 14 题

已知 $7$ 个结点的二叉树的先根遍历是 $\texttt{1 2 4 5 6 3 7}$（数字为结点的编号，以下同），后根遍历是 $\texttt{4 6 5 2 7 3 1}$，则该二叉树的可能的中根遍历是（ ）

先序定根，后序定左右子树范围，但左右子树内部结构不唯一，先别急着画树，直接顺着先序+后序的匹配逻辑，把能确定的子树先圈出来，剩下的分支再用排除法一个个试，最后把得到的中序和选项对一对。

最容易栽跟头的地方是以为先序加后序能像中序加先序那样唯一还原二叉树，其实只要左右子树节点数相同，左右孩子就能互换，导致整棵树形态不唯一。另外，很多同学看到 6 在 5 后面，就下意识认为 6 一定是 5 的右孩子，完全忽略了 6 也可能是 5 的左孩子（只要后序里 6 在 5 前面就行），这样就会漏掉合法的构造。还有把中序里出现的数字顺序搞混，比如把 7 和 3 的位置弄反，或者把根节点 1 的位置放错，直接导致整条中序遍历序列错误。

二叉树的遍历

先序(根左右)：1 2 4 5 6 3 7 后序(左右根)：4 6 5 2 7 3 1

根=1。左子树先序2 4 5 6，后序4 6 5 2。右子树先序3 7，后序7 3。

6可以是5的左子或右子，7可以是3的左子或右子 → 多种形态。

可能的中序：

• 4 2 6 5 1 7 3（选项A）
• 4 2 5 6 1 3 7（选项B）
• 4 2 5 6 1 7 3（选项D）

正确答案：A、B、D

考点与命题视角：这道题考的是“先序+后序能否唯一确定二叉树”这个核心概念。命题人喜欢在这里挖坑：大部分学生背了“先序+中序唯一确定”“后序+中序唯一确定”，一看到先序和后序就下意识觉得能唯一还原，结果掉进陷阱。其实只要左右子树节点数相同，左右孩子就能互换，导致整棵树形态不唯一。另外，很多同学看到 6 在 5 后面，就下意识认为 6 一定是 5 的右孩子，完全忽略了 6 也可能是 5 的左孩子（只要后序里 6 在 5 前面就行），这样就会漏掉合法的构造。

思考心法：拿到题先别急着画整棵树，直接顺着先序+后序的匹配逻辑，把能确定的子树先圈出来。根是 1，左子树先序 2 4 5 6、后序 4 6 5 2，右子树先序 3 7、后序 7 3。左子树里，2 是根，剩下 4 5 6 组成它的子树；后序里 4 6 5 2 说明 4 和 6 是叶子，5 是它们的父节点，但 6 到底是 5 的左还是右？后序里 6 在 5 前面，所以 6 可以是 5 的左或右——这就产生了分支。同理，右子树里 7 在 3 前面，7 也可以是 3 的左或右。既然左右子树内部都有两种可能，那整棵树就有 2×2=4 种形态，对应 4 种中序遍历。我们把这四种中序写出来，再和选项对一对，就能轻松选出答案。

避坑：最容易栽跟头的地方是以为先序加后序能像中序加先序那样唯一还原二叉树，其实只要左右子树节点数相同，左右孩子就能互换，导致整棵树形态不唯一。另外，很多同学看到 6 在 5 后面，就下意识认为 6 一定是 5 的右孩子，完全忽略了 6 也可能是 5 的左孩子（只要后序里 6 在 5 前面就行），这样就会漏掉合法的构造。还有把中序里出现的数字顺序搞混，比如把 7 和 3 的位置弄反，或者把根节点 1 的位置放错，直接导致整条中序遍历序列错误。

考频与趋势：二叉树遍历在题库里共考过 201 题，覆盖 8 个考试级别（2007-2026）。逐年分布：2007 年 2 题、2008 年 2 题、2010 年 2 题、2011 年 2 题、2012 年 2 题、2013 年 1 题、2015 年 2 题、2019 年 1 题、2021 年 2 题、2022 年 1 题、2023 年 19 题、2024 年 58 题、2025 年 67 题、2026 年 28 题、null 年 12 题。分赛事：GESP 六级 100 题、GESP 七级 56 题、GESP 八级 19 题、NOIP 提高组 初赛 9 题、GESP 五级 6 题、NOIP 普及组 初赛 4 题、CSP 提高级 4 题、CSP 入门级 3 题。从数据看，2023-2026 年考频激增（2025 年高达 67 题），说明命题人越来越重视二叉树遍历的灵活应用，尤其是“多解构造”这类陷阱题。

预测：基于给定数据与经验，未来（2027 及以后）仍会高频考查二叉树遍历，但更倾向于设计“先序+后序不唯一”“中序+后序不唯一”等需要分类讨论的题目，用来区分真正理解遍历逻辑的学生。暂无足够依据预测具体年份的题量，但趋势是保持高位震荡。