NOIP 普及组初赛 · NOIP 2014 普及组初赛试题 第 16 题

一棵具有 $5$ 层的满二叉树中结点数为( )。

满二叉树每层节点数是2的幂，直接套公式2^h-1，h=5时就是31。

容易把层数搞错，比如把根算作第0层导致算成2^4-1=15；或者误以为满二叉树节点数是2^h，忘了减1；还有人会把层数理解成叶子层数，导致算成2^5=32，这就是选项B的坑。

这道题考查的是满二叉树的节点数计算，属于二叉树基础里的必背公式。满二叉树的定义很明确：每一层都填满了节点，没有空缺。也就是说，第1层（根）有1个节点，第2层有2个，第3层有4个……第h层有2^(h-1)个节点。把这些加起来，就是一个等比数列求和：1+2+4+...+2^(h-1)=2^h-1。这是竞赛里高频考点，命题人特别喜欢在层数上挖坑：比如把根算作第0层，或者问“叶子层是第5层”这种表述，让学生误以为h=5时节点数是2^5=32（选项B），其实h=5意味着有5层，节点数还是2^5-1=31。另外，满二叉树和完全二叉树容易混淆，但完全二叉树最后一层不一定满，节点数不固定，而满二叉树是严格满的，公式唯一。拿到题先确认层数h，然后直接代入2^h-1。h=5时，2^5=32，32-1=31，答案就是A。避坑要点：别把层数当指数直接算2^h，也别把根算作第0层导致h少1。考频上，二叉树基础在NOIP普及组初赛共考过14题，是历年稳定考点，2023-2025年考频飙升（20、60、67题），说明这类基础概念题依然高频，未来大概率继续考满二叉树或完全二叉树的节点数、高度、叶子数等基础计算。暂无足够依据预测具体题型变化，但掌握公式和层数陷阱就够应对。