NOIP 普及组初赛 · NOIP 2010 普及组初赛试题 第 5 题

如果树根算第 $1$ 层，那么一棵 $n$ 层的二叉树最多有（ ）个结点。

这题考的是二叉树最值问题，拿到题先想满二叉树的层序规律：第k层最多2^(k-1)个，然后把这些层加起来，最后用等比数列求和公式直接出结果。

学生最容易栽跟头在两个地方：一是把根结点当成第0层，那样满二叉树公式就变成2^(n+1)-1，直接掉进D选项的坑；二是求和时粗心，把1+2+4+...+2^(n-1)算成2^n，忘了等比数列求和要减1，就选了B。其实只要记住“满二叉树=2^n-1（根为第1层）”这个结论，就不会错。

考点与命题视角

这道题考查二叉树的基础性质：n层二叉树最多有多少结点。命题人喜欢用“最多”这个词来暗示你考虑满二叉树（每一层都塞满）的情况，然后让你用数学归纳或等比数列求和来算总数。这类题在NOIP普及组初赛里很常见，属于送分但容易因审题不清丢分的类型。

概念拆解

先说清楚什么是“满二叉树”：从根开始，每一层的结点数都达到该层理论最大值（第1层1个，第2层2个，第3层4个……）。题目问“最多”，其实就是问满二叉树的结点数。