NOIP 普及组初赛 · NOIP 2011 普及组初赛试题 第 7 题

如果根结点的深度记为 $1$，则一棵恰有 $2011$ 个叶结点的二叉树的深度最少是（ ）。

这题核心就是‘叶子数固定时，深度最小意味着树要尽可能满’。别一上来就套公式，先想满二叉树每层叶子数的规律：深度h的满二叉树，叶子都在最后一层，数量是2的(h−1)次方。题目给了2011个叶子，咱们就找最小的h让2^(h−1)盖过2011，直接算2的幂次逼近就行。

最容易栽跟头的就是深度起算问题：题目明确根深度为1，但很多同学习惯从0开始数层，结果把答案少算一层。还有满二叉树叶子数公式记混成2^h或2^(h−2)，导致不等式方向搞反。另外，有些同学看到2011接近2048，就想当然觉得11层就够了，其实11层满二叉树只有1024个叶子，差得远；必须保证最后一层能放下所有叶子，所以得用≥而不是>。

考点梳理

这题考的是二叉树里‘叶子数与深度’的关系，属于基础但容易掉坑的概念。命题人喜欢在这种单选题里挖‘深度起算’和‘满二叉树叶子公式’两个坑，让你一不小心就选错一层。

核心概念（人话版）

• 深度从1起：根是第1层，不是第0层。这点题干已经明示，但做题时千万别惯性思维。
• 满二叉树：每一层都塞满节点，没有空缺。对于满二叉树，所有叶子都在最后一层，数量就是2的（层数−1）次方。比如深度h的满二叉树，叶子数 = 2^(h−1)。