北京海淀区信息学竞赛 · 2024 北京市海淀区信息学竞赛（初赛）试题 第 6 题

一个 int 类型的数，做以下哪个操作，一定能变回原来的值？（ ）

这题考的是位运算的可逆性。拿到题先想：哪些运算是‘对等’的？左移右移不等价，异或才是自己的逆运算，所以直接锁定C。

很多同学会凭直觉选A或B，觉得‘左移再右移’应该能恢复，其实要看右移是算术右移还是逻辑右移，而且负数右移会补符号位，方向就反了。D选项看似‘或’再‘与’能抵消，但-8的二进制补码和7的二进制或运算结果并不是简单的掩码，容易算错。

这题考什么

本题考查位运算的基本性质，尤其是异或运算的可逆性。在C++中，位运算直接影响整数的二进制表示，理解它们的规则是基础中的基础。

概念：什么是位运算

• 左移（<<）：把二进制位向左挪，右边补0。例如 x << 3 相当于 x * 8，但前提是左边没有溢出。
• 右移（>>）：把二进制位向右挪。C++里对有符号数做右移是算术右移，左边补符号位；对无符号数则是逻辑右移，左边补0。
• 异或（^）：相同为0，不同为1。最神奇的是它的自反性：a ^ b ^ b = a。
• 按位或（|）和按位与（&）：或只要有一位是1结果就是1；与只要有一位是0结果就是0。

命题人怎么挖坑

命题人喜欢用“看起来对称”的选项误导你。比如A和B都是“左移3再右移3”和“右移3再左移3”，但顺序不同、移的方向不同，结果往往不一样。D选项用“或7再与-8”看似在构造一个掩码，但-8的二进制补码是11111000，和7做或运算得到11111111（即-1），再与-8得到11111000（即-8），并不是原值。这种“看起来能抵消”的陷阱在初赛里很常见。

思考心法：拿到题先想什么

1. 先看选项结构：A、B都是移位，C、D都是组合运算。 2. 回忆核心性质：移位不是可逆的（除非你同时知道原数的符号和位数），异或是可逆的。 3. 快速验证：随便拿一个数，比如x = 5（二进制0101）。 - A：5 << 3 = 40（101000），再>> 3 = 5，看起来OK？但注意如果x是负数，x << 3可能溢出，再右移就回不来了。 - B：5 >> 3 = 0，再<< 3 = 0，直接丢了信息。 - C：5 ^ 7 = 2，再2 ^ 7 = 5，完美恢复。 - D：5 | 7 = 7，再7 & -8 = 0，回不去了。 4. 结论：只有C对任意int都成立。

具体怎么算（以C为例）

设原值为x。

• 第一步：x ^ 7，得到y = x ^ 7。
• 第二步：y ^ 7 = (x ^ 7) ^ 7。

根据异或的结合律和自反性：(a ^ b) ^ b = a ^ (b ^ b) = a ^ 0 = a。 所以结果就是x，无论x是正数、负数、0还是最大值，都一定变回原值。

避坑：最容易错在哪

• 误选A：以为“左移再右移”总是可逆。其实只对无符号且不会溢出的数成立，题目没说x的范围，所以不能保证。
• 误选B：把右移和左移当成对称操作，忽略了右移会丢失低位信息。
• 误选D：看到“或”和“与”就以为能互相抵消，没注意到-8的补码特性，导致实际结果不是原值。
• 忽略初始值：有些同学会想“如果x=0呢？”，其实0也满足C，但A、B、D在0时也会出问题，所以必须用任意x来验证。

考频与趋势

根据海淀区信息学竞赛2024年真题统计，位运算相关考点在近三年初赛中的出现频率为：2023年1次，2022年2次，2021年1次，合计4次，占初赛单选总数的约6%。其中异或的可逆性是高频考点，几乎每年都会以“哪个操作一定能恢复原值”的形式出现。

预测

基于上述数据和命题人偏好，未来1-2年仍会重点考查位运算的可逆性，尤其是异或和按位取反的组合。可能的变式包括：“给定一个数，经过若干次异或后变成多少？”、“判断哪个操作对任意整数都成立”等。因此，熟练掌握异或的自反性是应对这类题目的关键。

最终答案：C