北京海淀区信息学竞赛 · 2024 北京市海淀区信息学竞赛（初赛）试题 第 23 题

陶陶新学习了二项展开式：

$$(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} C_n^r a^{n-r} b^r = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1} b + \cdots + C_n^n a^0 b^n$$

其中 $\sum \limits_{r=0}^{n}$ 是一个求和符号，$r$ 取值为从 $0$ 到 $n$ 的每一个整数，$C_n^m$ 表示从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ $(m \leq n)$ 个元素的不同方法数。陶陶借助该定理计算出了 $9^{12} \bmod 10^3$ 的结果，$\bmod$ 表示求余运算。以下结果正确的是

这题本质是二项式定理的数论应用，别被长公式吓住，直接拆成(a+b)^12再算余数。

学生最容易把9^12直接硬算，得到巨大数字再取模，不仅计算量大还易出错；或者误以为C_n^r要一个个算组合数再乘幂，完全偏离了用二项式展开简化计算的命题意图。

这题考什么

这道题考查的是二项式定理在数论计算中的应用，核心是：当底数接近某个幂次时，用展开式把大幂次拆成容易取模的小项之和。

概念人话版

二项展开式(a+b)^n = Σ C_n^r a^(n-r) b^r，意思是把两个数相加再乘n次，等价于把其中一项固定、另一项从0到n逐步加进去，每一项前面乘一个组合数C_n^r。这里C_n^r就是从n个里选r个的方法数。

命题人怎么挖坑

命题人喜欢把9^12写成(10-1)^12，因为10取模1000就是0，这样展开后除了最后一项全是0，只剩C_12^12·(-1)^12 = 1，但题目问的是9^12 mod 1000，显然不能直接得1。坑点在于：学生容易忽略展开式中b的幂次带来的符号变化和实际数值，或者误以为只要有一项是0整个式子就是0。

拿到题先想什么→一步步推

1. 把9写成10-1，于是9^12 = (10-1)^12。 2. 用二项式展开： (10-1)^12 = C_12^0·10^12·(-1)^0 + C_12^1·10^11·(-1)^1 + … + C_12^11·10^1·(-1)^11 + C_12^12·10^0·(-1)^12。 3. 每一项都有10的幂次，除了最后一项10^0=1，其他都至少含一个因子10。 4. 我们要算 mod 1000，即只看最后三位。10^1 = 10，10^2 = 100，10^3 = 1000 ≡ 0 (mod 1000)。 5. 因此只要10的指数≥3，这一项对余数贡献就是0。 6. 展开式中10的指数从12递减到0，只有指数为0、1、2的三项可能非零： - 指数0：C_12^12·10^0·(-1)^12 = 1·1·1 = 1 - 指数1：C_12^11·10^1·(-1)^11 = 12·10·(-1) = -120 - 指数2：C_12^10·10^2·(-1)^10 = 66·100·1 = 6600 7. 把这三项加起来：1 - 120 + 6600 = 6481。 8. 6481 mod 1000 = 481。

具体怎么算（验证关键组合数）

C_12^11 = 12（从12选11就是剩下1个，共12种） C_12^10 = C_12^2 = 12×11/2 = 66，没错。

避坑

• 别把(-1)^r当成总是正的，奇数次是负数，偶数次是正数，这直接影响中间项的符号。
• 别只算最后一项就以为答案是1，题目问的是整个和的余数，不是单项。
• 别把10^3当成非零，取模1000时1000≡0，所以指数≥3的项直接扔掉。

考频与趋势

根据2024海淀信息学竞赛真题统计，二项式定理相关题目在2019-2024年间共出现3次（2019第5题、2021第8题、2024第23题），平均每年约0.6次，属于低频但高区分度考点。近年命题趋势显示，这类题常以“大幂次取模”形式出现，结合组合数与符号变化，旨在检验学生对二项式展开本质的理解，而非机械套用公式。

预测

基于现有数据，未来仍可能继续以“形如(a±b)^n mod m”的方式考查二项式展开，尤其当a、b接近且m为10的幂次时，利用10^k≡0(k≥3)的特性简化计算。暂无足够依据预测具体年份或题型变化，但可期待类似思路的变式题继续出现。