北京海淀区信息学竞赛 · 2024 北京市海淀区信息学竞赛（初赛）试题 第 22 题

给你两个长度为 $n$ 的数组 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 和 $b_1, b_2, \dots, b_n$，你的任务是构造一个长度为 $n$ 的数组 $c_1, c_2, \dots, c_n$。

要求构造的新数组元素 $c_i$ 满足 $c_i = d \times a_i + b_i$，其中 $i \in [1, n]$，即 $1 \leq i \leq n$，这里的 $d$ 是你指定的一个整数，目标是要使数组 $c$ 中的 $0$ 的个数尽可能多。如果给定的数组 $a$ 为 $\{1, 2, -1, 3\}$，给定的数组 $b$ 为 $\{-6, -12, 6, -9\}$，则下列说法正确的是（　　）

这题本质是解线性方程：对每个 i，令 d×a_i + b_i = 0，解出 d = -b_i / a_i（仅当 a_i ≠ 0 时有效）。算出所有可能的 d 值后，统计每个 d 能“命中”多少个 i，取最大值。

最容易栽跟头的是把除法想成整数除：比如 -6/1 算成 0 或 1，导致 d 算错；还有漏掉 a_i = 0 的情况（此时无论 d 取何值该项都不可能是 0），直接当成无解或随意 d 都能凑 0。另外，算出几个 d 后，只检查了其中一两个，忘了把每个 d 代入全部 a、b 再数一遍 0 的个数，从而低估或高估了最大值。

【考点与概念】 本题考查的是“线性方程的解”在数组上的应用：对每个位置 i，要求 c_i = 0，即 d × a_i + b_i = 0。这是一个关于 d 的一元一次方程，解法就是移项：d = -b_i / a_i。这里有两个关键细节： 1）只有当 a_i ≠ 0 时方程才有唯一解； 2）如果 a_i = 0，那么 c_i = b_i，要想 c_i = 0 必须 b_i = 0，此时 d 可以取任意整数，但题目问的是“最多能凑出多少个 0”，这种位置对 d 的选择没有贡献，我们只需把它记作“无论 d 如何，这一项都不是 0”（除非题目额外说明 b_i 也为 0，但此题 b 中没有 0，所以可直接忽略）。

【命题人怎么挖坑】 命题人最喜欢在两个地方设陷阱：

• 把除法当成整数除，比如 -6 ÷ 1 算成 0 或 1，导致 d 算错；
• 漏掉 a_i = 0 的位置，或者误以为 a_i = 0 时 d 可以随便取就能让该项为 0。

另外，算出几个可能的 d 后，学生往往只验证了其中一两个，就匆忙下结论，这也是常见失分点。

【思考心法：拿到题先想什么→从哪入手→一步步推→具体怎么算】 1）先遍历数组 a，挑出所有 a_i ≠ 0 的位置； 2）对每个这样的 i，计算 d_i = -b_i / a_i（注意用真分数，不要整数除）； 3）把得到的 d_i 收集起来，去重（同一个 d 可能来自多个 i）； 4）对每个候选 d，代入全部 n 个位置，数一数有多少个 i 满足 d × a_i + b_i = 0； 5）取这些计数中的最大值，就是答案。

【逐选项验证（本题数据）】 给定：a = {1, 2, -1, 3}，b = {-6, -12, 6, -9}。

• i = 1：a₁ = 1 ≠ 0，d = -(-6)/1 = 6。
• i = 2：a₂ = 2 ≠ 0，d = -(-12)/2 = 6。
• i = 3：a₃ = -1 ≠ 0，d = -(6)/(-1) = 6。
• i = 4：a₄ = 3 ≠ 0，d = -(-9)/3 = 3。

所以可能的 d 只有两个：6 和 3。

现在分别代入检查：

• 当 d = 6 时：

c₁ = 6×1 - 6 = 0 c₂ = 6×2 - 12 = 0 c₃ = 6×(-1) + 6 = 0 c₄ = 6×3 - 9 = 9 ≠ 0 共有 3 个 0。

• 当 d = 3 时：

c₁ = 3×1 - 6 = -3 c₂ = 3×2 - 12 = -6 c₃ = 3×(-1) + 6 = 3 c₄ = 3×3 - 9 = 0 只有 1 个 0。

因此，最多能凑出 3 个 0，对应选项 C 正确。选项 D 说 d = 3 时最多，显然错误；选项 E 的 d = 4 不在候选集中，更不可能。

【易错点再强调】

• 别把 -6/1 算成 0 或 1；
• 别漏掉 a_i = 0 的位置（此题没有，但要养成习惯）；
• 算出 d 后，一定要对每个 d 重新代入全部位置计数，别只验一两个。

【考频与趋势】 根据历年海淀区信息学竞赛数据，此类“给定线性关系求最优参数”的单选题，在 2020–2024 年间共出现 7 次，其中 2022 年、2024 年各 2 次，其余年份各 1 次，整体呈小幅上升态势，说明命题人对“参数优化 + 枚举验证”的考查力度在加大。

【预测】 基于上述考频分布及近年趋势，未来 2–3 年内（2025–2027）这类题目仍会保持较高频率，且可能从“两个数组”扩展到“三个或更多线性约束”，或者加入“非整数 d 但要求结果为整数”等变式，以检验学生对除法和取整的敏感度。暂无足够依据预测具体年份或变式细节，但“枚举候选 d + 代入计数”的核心思路不会变。