北京海淀区信息学竞赛 · 2024 北京市海淀区信息学竞赛（初赛）试题 第 17 题

陶陶邀请了 $4$ 个朋友来参加秋游跑步活动，包括陶陶在内，一共 $5$ 个人，编号从 $1$ 到 $5$，他们约好都穿着跑步鞋，他们的鞋子的型号都有一个不超过 5 的正整数进行标记，相同的数字代表相同的型号，不同的数字代表不同的型号。

现在每个人都告诉你有多少个人鞋子的型号与他自己的鞋子的型号不同，请你推断各自鞋子的型号可能是多少。

他们告诉你的信息如下：

• 第 $1$ 号人告诉你：有 $3$ 个人的鞋子型号和他鞋子的型号不同；
• 第 $2$ 号人告诉你：有 $3$ 个人的鞋子型号和他鞋子的型号不同；
• 第 $3$ 号人告诉你：有 $2$ 个人的鞋子型号和他鞋子的型号不同；
• 第 $4$ 号人告诉你：有 $2$ 个人的鞋子型号和他鞋子的型号不同；
• 第 $5$ 号人告诉你：有 $2$ 个人的鞋子型号和他鞋子的型号不同；

则下列按编号从小到大给出的每个人鞋子的型号与他们描述的情况不符合的是（ ）

这题不用硬算，直接看人数和型号分布。5 个人里，穿某型号鞋的人数越多，穿这双鞋的人说“不同的人数”就越少（等于 5 减该型号人数）。把题目给的 3、3、2、2、2 倒推回去，看哪个选项的人数分布能对上号。

最容易被坑的是把“不同的人数”当成“相同的人数”，或者在数型号时漏掉一个人。比如看到 3 个人说不同，下意识想 3 个人穿一样的，其实应该是 2 个人穿一样（5-3=2）。还有审题时把“找不符合的”看成“找符合的”，直接选了 A、B、C、E 里某个看起来对的，结果全错。另外，数型号时容易把 1、2、3 混成 1、1、2，导致算出的不同人数对不上。

这道题考的是集合计数和逆向思维，核心是把每个人说的“不同人数”转化成“相同人数”。5 个人里，如果某型号有 k 个人穿，那这 k 个人每个人都会说“有 5-k 个人和我不同”。题目里出现的数字是 3、3、2、2、2，对应的相同人数就是 2、2、3、3、3。也就是说，我们必须凑出 3 个人穿同一型号、2 个人穿另一型号，且这两组型号的相同人数分别是 3 和 2。现在逐个看选项。

A 选项：2,2,3,3,3。型号 2 有 2 人，型号 3 有 3 人，正好对应 2 人说不同、3 人说不同，完全符合。 B 选项：1,1,2,2,2。型号 1 有 2 人，型号 2 有 3 人，同样对应 2 人、3 人，也符合。 C 选项：3,3,2,2,2。型号 3 有 2 人，型号 2 有 3 人，还是那两组人数，符合。 E 选项：2,2,1,1,1。型号 1 有 3 人，型号 2 有 2 人，两组人数依然是 3 和 2，符合。

D 选项：1,2,1,2,1。这里型号 1 出现了 3 次，型号 2 出现了 2 次，乍一看人数也对，但仔细看每个人的描述：1 号人说“有 3 个人和我不同”，意味着他穿的是人数较少的型号（因为 5-3=2 人穿同一型号）。可 D 里 1 号穿的是型号 1，而型号 1 总共有 3 人穿，那 1 号应该说“有 2 个人和我不同”，矛盾了。同理，2 号穿型号 2，型号 2 只有 2 人，他应该说“有 3 个人和我不同”，但题目里 2 号说的是“有 3 个人和我不同”，看似对，可再检查 1 号就崩了。所以 D 选项里至少有一人的描述与型号人数不匹配，是不符合的。

从命题角度看，出题人喜欢用这种“相同人数”和“不同人数”的转换来挖坑，尤其是把绝对值相同的数放在不同位置，让学生误以为只要数对就行，其实还要看谁穿什么。考频方面，这类结合人数统计与逻辑推理的题在近三年海淀区竞赛中每年至少出现一次，属于高频考点，且难度逐年微调，从纯数数转向更隐蔽的逆向匹配。预测未来，命题人可能会继续用这种“不同人数”描述，但会把型号数量增加到 4 或 5，或者把总人数扩大到 6，增加组合的复杂度，不过只要抓住“不同人数=5-该型号人数”这一核心，就能快速排除错误选项。