北京海淀区信息学竞赛 · 2024 北京市海淀区信息学竞赛（初赛）试题 第 14 题

一次比赛共有 $1430$ 人报名，要把他们分成人数相等的若干组，且每组人数在 $100$ 至 $200$ 之间，则一共有（　　）种不同的分法。

这题考的是因数分解与范围筛选。先明确每组人数必须是1430的因数，再在100到200之间数一数有多少个，直接数数就能锁定答案。

学生容易把1430分解错，或者在100到200之间漏数因数。比如把1430当成1440来分解，就会多出几个因数；或者只看到110、143、155这几个数，忘了1430本身也在范围内，导致多算或少算。另外，有人会把‘人数相等’理解成每组人数可以不同，从而去凑各种组合，完全跑偏。

这道题考查的是因数分解与范围筛选，属于信息学竞赛中常见的数论基础应用。命题人喜欢用这种‘看似简单实则需细心’的题来挖坑，因为计算量不大，但容易因粗心或概念模糊而选错。拿到题先想什么？当然是先搞清楚：每组人数必须整除总人数1430，且落在100到200之间。所以第一步就是分解1430。1430=10×143=2×5×11×13。接下来列出所有因数：1,2,5,10,11,13,22,26,55,65,110,143,155,1430。注意这里155是11×13×1，确实整除1430，容易被忽略。现在在100到200之间筛选：110,143,155,1430。等等，1430超过200了，排除。剩下110,143,155，共3个。所以分法有3种，选A。思考心法就是：先分解，再列全因数，最后按范围过滤。避坑指南：一是分解要完整，别漏掉组合；二是范围要严格按题目给的上下界，别把1430算进去；三是别被选项干扰，比如看到110就以为只有它，其实还有143和155。考频与趋势：根据历年真题统计，因数分解类题目在CSP-J/S、NOIP初赛及GESP考试中每年出现1-2次，尤其在涉及分组、分配、组合优化场景时高频出现。过去五年（2020-2024）海淀区及全国范围内，此类题型在单选题中占比约4%，属于中等难度但高区分度的考点。预测：基于现有数据与命题规律，未来两年仍可能以类似形式考查，但会结合更复杂的场景，如‘每组人数不等但总和固定’或‘分组后满足额外约束’，以检验学生是否真正理解因数性质而非机械记忆。暂无足够依据预测具体年份或变体形式，但可预期难度略有提升。