北京海淀区信息学竞赛 · 2024 北京市海淀区信息学竞赛（初赛）试题 第 11 题

有两个不相等的浮点数 $a$ 和 $b$，它们满足关系式 $a^2 + 3a + 1 = 0$，$b^2 + 3b + 1 = 0$，则 $a + b$ 的值为（ ）

这题考韦达定理，拿到二次方程别急着套公式，先看是不是同一个方程的两个根。

学生常把韦达定理记混，误以为两根之和是常数项，或者在计算时把符号搞反，导致选成-1或1。还有人会忽略题目强调“两个不相等的浮点数”，其实韦达定理对相等根也成立，但出题人特意加这个条件是为了防止有人用判别式去硬算根再相加，反而绕弯路。

这题考什么

韦达定理（根与系数的关系）。

概念人话版

对任意二次方程 $x^2+px+q=0$，若它的两个根是 $x_1,x_2$，那么

• $x_1+x_2=-p$（两根之和等于一次项系数的相反数）
• $x_1\cdot x_2=q$（两根之积等于常数项）

命题人怎么挖坑

题目故意写成两个“看起来像不同方程”的式子： $$a^2+3a+1=0,^2+3b+1=0$$ 其实它们就是同一个方程 $x^2+3x+1=0$ 的两个根。考点就藏在这里： 1) 能否一眼看出是同一方程； 2) 会不会被“两个不相等的浮点数”这句话带偏，去算判别式、求具体根再相加，反而容易算错； 3) 符号陷阱：一次项系数是 $+3$，和应该是 $-3$，别记成 $+3$ 或 $-1$。

思考心法

拿到题先问自己：这俩数是不是同一个二次方程的两个根？

• 看结构：都是 $x^2+3x+1=0$ 的形式 → 是同一方程。
• 韦达定理直接给和：$a+b=-3$。
• 再核对题目：确实要求 $a+b$，答案就是 $-3$。

避坑

最容易错的是把一次项系数当和，选成 $3$（D）；或者把常数项当和，选成 $1$（C）；还有人会误以为两根之和是 $-1$（B），那是把 $p$ 当成 $1$ 了。记住：和 = $-p$，积 = $q$。

考频与趋势

在近年 CSP-J/S 和 GESP 浮点/代数类单选题中，韦达定理是高频考点，平均每年出现 1-2 次，常以“两个数满足同一二次式”的形式包装，考查识别与直接应用。

预测

未来仍会这样考：给两个看似独立但实为同一二次方程的根，让求和或求积，偶尔会加一点“不相等”的描述来增加干扰。只要抓住“同一方程→韦达定理”这一条，就能稳稳拿分。