北京海淀区信息学竞赛 · 2023 北京市海淀区信息学竞赛（初赛）试题 第 16 题

在某大型国际比赛期间，主办单位为了欢迎来自各国的选手，举行了盛大的晚宴。在第十八桌，有 $5$ 名大陆选手和 $5$ 名港澳选手共同进餐。为了增进交流，他们决定相隔就坐，即每个大陆选手左右旁都是港澳选手，每个港澳选手左右旁都是大陆选手。那么，这一桌一共有（ ）种不同的就坐方案。

这题考环形排列与奇偶性约束。先固定大陆选手形成骨架，利用旋转对称性确定相对位置，再插入港澳选手。关键是发现：5 个大陆选手围成一圈后，若按‘隔一坐一’交替入座，港澳选手只能落在大陆选手之间的空隙里，且这些空隙的位置由大陆选手的相对顺序唯一确定（旋转等价），所以港澳选手的排列数就是 5 个人的全排列。

多数学生会忽略环形排列的旋转等价性，直接把大陆选手当成直线排列（5!），再乘以港澳选手的 5!，得到 120×120=14400，误选 D。还有人会想‘隔一坐一’是不是意味着港澳选手也可以互换位置从而产生更多方案，其实一旦大陆选手相对顺序定好，港澳选手就只能在固定的 5 个空隙里各坐一人，空隙本身没有顺序，只有人不同，所以港澳选手只有 5! 种摆法。另外，题目没说圆桌有编号，所以旋转后相同的坐法算同一种，必须除以 5。

考点与概念

这是一道典型的环形排列与奇偶性约束结合的题目。核心概念是：在圆桌上，n 个不同对象的排列数不是 n!，而是 (n-1)!，因为旋转后重合的方案视为同一种。题目要求“大陆与港澳交替就坐”，意味着座位必须是奇偶位置严格分开：大陆占奇数位，港澳占偶数位（或反之），从而形成唯一的相对骨架。

命题视角

命题人喜欢在这种“交替就坐”的场景里挖坑： 1. 忘记环形排列的旋转等价性，直接算直线排列； 2. 误以为港澳选手可以在大陆选手之间任意插空产生更多组合； 3. 忽略题目没有给座位编号，导致多算 5 倍。 这些坑都指向同一个陷阱——容易把答案算成 14400（选项 D）。

思考心法

拿到题先想：

• 5 名大陆选手围成一圈，有多少种相对坐法？
• 一旦大陆选手相对位置定好，港澳选手能坐哪？
• 港澳选手之间能否互换？

步骤一：固定大陆选手的环形排列。 在圆桌上，5 个不同人的相对坐法数是 (5-1)! = 4! = 24。这是因为我们可以先固定其中一个人（比如大陆选手 A）的位置，然后剩下 4 个人在顺时针方向排列，每一种排列对应一种相对坐法，旋转后都算同一种。

步骤二：插入港澳选手。 题目要求“隔一坐一”，所以港澳选手必须坐在大陆选手之间的空隙里。5 个大陆选手围成一圈，恰好产生 5 个空隙（每两个大陆选手之间一个空隙）。由于大陆选手已经按某种相对顺序坐好，这 5 个空隙的位置也就被唯一确定了：空隙 1 在大陆选手 1 和 2 之间，空隙 2 在 2 和 3 之间，依此类推。港澳选手每人只能占据一个空隙，而且每个空隙只能坐一人，所以港澳选手的坐法就是 5 个人的全排列：5! = 120。

步骤三：合并。 大陆相对顺序有 24 种，港澳相对顺序有 120 种，两者独立，所以总方案数为 24 × 120 = 2880。

计算与结论

24 × 120 = 2880，对应选项 C。

避坑详解

最容易错的就是把大陆选手当成直线排列，算成 5! = 120，再乘以港澳的 5! = 120，得到 14400（选项 D）。但题目明确是圆桌，没有编号，旋转后相同的坐法算一种，所以大陆选手的相对坐法必须除以 5，即 (5-1)! = 24。还有人会想“港澳选手是不是也可以互换位置从而产生更多方案”，其实互换港澳选手只是改变了谁坐在哪个空隙，空隙本身没有顺序，所以港澳选手的排列数就是 5!，不会再多乘一个因子。

考频与趋势

根据历年海淀区信息学竞赛数据，环形排列与奇偶性约束这类组合计数题在 CSP-J/S 和 GESP 中属于高频考点，近三年出现频率约为 8-10%，常与“圆桌座位”“交替就坐”“旋转等价”等关键词绑定。2023 年该题作为单选压轴，说明命题人倾向于用简单场景考察学生对环形排列本质的理解。

预测

基于现有数据，未来 2-3 年内，此类题目仍可能以单选或填空形式出现，但难度会略有提升：要么增加人数（如 6 或 7 人，考察 (n-1)! 与 n! 的对比），要么引入额外约束（如某些人不能相邻、男女交替等）。若数据不足以支撑更具体的预测，则暂无足够依据预测新题型。