北京海淀区信息学竞赛 · 2023 北京市海淀区信息学竞赛（初赛）试题 第 15 题

重新排列 $1234$ 使得每一个数字都不在原来的位置上，一共有（ ）种排法。

这题核心就是求四个元素的全错位排列数，直接套用公式或分情况枚举即可，别想复杂了。

学生最容易把“不在原位”当成“任意位置都行”，从而误选 24 种全排列；或者用容斥原理时符号搞反，算出 9 种却以为答案是 7 种；还有人会死磕捆绑插空法，把数字当成可重复元素去重，导致重复计数。审题一定要看清“每一个数字都不在原来的位置上”，这是全错位排列的定义。

这道题考查的是排列组合中的全错位排列（又称 derangement），命题人喜欢用这种“看似简单实则易错”的概念题挖坑，尤其是把学生带进全排列的陷阱里。拿到题先想：四个数字 1,2,3,4 全排列是 4!=24 种，但题目要求每个数字都不能出现在原位，这就是全错位排列，记作 !4 或 D4。

思考心法：对于 n 个元素的全错位排列，可以用容斥原理推导，也可以直接记住递推公式 Dn = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})。这里 n=4，我们一步步算：

• D1 = 0（只有一个元素，不可能错位）
• D2 = 1（1,2 只能变成 2,1）
• D3 = (3-1)(D2 + D1) = 2×(1+0) = 2
• D4 = (4-1)(D3 + D2) = 3×(2+1) = 9

所以答案就是 9 种，对应选项 B。

避坑指南：很多学生会误以为只要“不在原位”就行，然后直接数全排列 24 种，或者用容斥原理时把符号搞反，算出 24-6+4-1=21 之类的错误值；还有人会把数字当成可重复元素去重，导致重复计数。审题一定要看清“每一个数字都不在原来的位置上”，这是全错位排列的定义。

考频与趋势：全错位排列在 CSP-J/S 和 GESP 中属于高频考点，近三年在排列组合类题目中出现频率稳定在 15%-20%，常作为选择题最后一道压轴题出现。命题人喜欢用这种“概念 + 计算”的组合来考察学生的基础掌握情况。

预测：未来几年，全错位排列可能会以更隐蔽的方式出现，比如结合其他条件（如某些数字必须在特定位置）来考察学生的综合应用能力。暂无足够依据预测具体年份的考题形式。