若一个图中所有顶点的度数为偶数,则一定存在欧拉回路。( )
欧拉路径/回路:无向图中欧拉回路存在当且仅当所有顶点度数为偶数。有向图中欧拉回路存在当且仅当所有顶点入度=出度。
审题时注意题目要求(选正确还是选错误),避免因审题不清失分。涉及代码的题目要逐行分析变量变化。
【考点】图论|欧拉回路|连通性
【考纲定位】本题属于 GESP 八级图论模块,核心考察欧拉回路判定条件。命题人特意省略"连通"这一关键前提,卡住那些只背"偶度则存在"结论的考生。
【解题思维】看到"所有顶点度数为偶数",应立刻联想到欧拉回路定理:图存在欧拉回路 ⇔ 图连通且所有顶点度数为偶数。这里只给出半条件,必须补全"连通"这一必要条件。连通的本质是图的所有边属于同一个连通分量,否则无法遍历所有边。
【陷阱拆解】选项 A 正确是典型"半条件陷阱"——只记住偶度条件,却忽略连通性。命题人利用的是对定理的不完整记忆,许多考生背过"欧拉图必为偶度图",但反向推导时漏掉"偶度图必为欧拉图"的连通前提。最阴险的细节在于"一定存在"的绝对化表述,它暗示无需额外条件,恰恰是连通性缺失的证据。
【反命题思维】若补上"图连通"条件,原命题即成立;若改成"存在欧拉回路则所有顶点度数为偶数",又变成另一个经典定理。定理的充要条件缺一不可,刷到类似题时,先问自己:定理的充要条件是否完整?缺了什么前提?