GESP 八级 · GESP 202409 C++ 八级 第 6 题

在一个单位圆上，随机分布 $n$ 个点，求这 $n$ 个点能被一个单位半圆周全部覆盖的概率（ ）。

仔细审题，明确已知条件和所求目标，运用相关知识点逐项分析。

审题时注意题目要求（选正确还是选错误），避免因审题不清失分。涉及代码的题目要逐行分析变量变化。

【考点】概率｜计数原理｜几何概型

考纲定位：本题考查《GESP 大纲》八级"概率与统计"中的几何概型，命题人用"单位半圆覆盖随机点"这一经典模型，卡住考生对"连续概率离散化"的转化能力——这是概率题中最常见的失分点。

解题思维：解题链：固定一点为"起点"，其余 n-1 点落在其右侧半圆内的概率为 1/2^{n-1}，但起点可以是任意一点，故总有利情况数为 n·2^{n-1}；总情况数 2^n，得概率 n/2^{n-1}。通法：n 个随机点落在单位圆上能被半圆覆盖的概率公式为 n/2^{n-1}，本质是将连续圆离散化为"左半圆/右半圆"的 2^n 种配置，再用对称性计数。

陷阱拆解：A 正确；B、C 是"线性衰减"错觉，把连续概率当成离散计数；D 漏了"起点可轮换"的对称性，只算了固定半圆的情形。

反命题思维：反命题：若把"半圆"改成"θ 弧度扇形"，概率公式将变为 n·(θ/2π)·(1-θ/2π)^{n-1}；若把圆换成线段，则退化为"所有点落在长度为 L/2 区间"的概率，需用积分而非对称计数。提醒：刷到此类题先问"固定一点后，其余点落在哪一侧？"——这是连续概率离散化的钥匙。