CSP-S 提高级 · CSP 2023 提高级第一轮 第 8 题

一位玩家正在玩一个特殊的掷骰子的游戏，游戏要求连续掷两次骰子，收益规则如下：玩家第一次掷出 $x$ 点，得到 $2x$ 元；第二次掷出 $y$ 点，当 $y=x$ 时玩家会失去之前得到的 $2x$ 元而当 $y \neq x$ 时玩家能保住第一次获得的 $2x$ 元。上述 $x,y\in{1,2,3,4,5,6}$。 例如：玩家第 一次掷出 $3$ 点得到 $6$ 元后，但第二次再次掷出 $3$ 点，会失去之前得到的 $6$ 元，玩家最终收益为 $0$ 元；如果玩家第一次掷出 $3$ 点、第二次掷出 $4$ 点，则最终收益是 $6$ 元。假设骰子掷出任意一点的概率均为 $\dfrac 1 6$,玩家连续掷两次般子后，所有可能情形下收益的平均值是多少？

这题本质是算期望值。拿到题先别急着列36种情况，抓住核心：第一次掷出x，收益2x；第二次若y=x则归零，y≠x则保住2x。对每个x，算出保住2x的概率是5/6，再求和即可。

最容易掉进两个坑：一是看到'失去之前得到的2x'就以为收益变成0，却忘了要乘以第一次掷出x的概率1/6，直接拿2x去平均；二是混淆条件概率，误以为第二次掷出不同点的概率是1/5（在已知第一次是x的条件下），其实题目给的是无条件概率1/6，所以保住收益的概率是5/6。还有同学会纠结'失去'是减去2x还是变成0，题目明确说'失去之前得到的2x元'，结合例子最终收益为0，说明是归零。

这道题考查概率中的期望值计算，属于基础但容易在细节上栽跟头的类型。命题人喜欢在这种简单规则里埋下'条件概率'和'事件互斥'的坑，让学生以为只要算平均就能蒙对，其实必须严格带上概率权重。

我们先用人话把规则捋顺：第一次掷出x点，直接拿2x元。第二次掷y点，如果y=x，那第一次的钱全没了，收益变0；如果y≠x，钱就保住了，还是2x。骰子六个面等概率，每次1/6。

拿到题，思考心法应该是：别急着枚举36种，先固定第一次掷出某个x，看在这个前提下，第二次能保住钱还是归零。对任意一个x（比如x=3），第一次收益是6元。第二次掷出3的概率是1/6，这时候收益归零；掷出1,2,4,5,6这五个不同点的概率合计是5/6，这时候收益保住6元。所以，给定x=3时，期望收益就是(1/6)×0 + (5/6)×6 = 5元。你会发现，这个5元其实就是(5/6)×2x，跟x的具体值成正比。

现在推广到所有x。x从1到6，每个出现的概率都是1/6。对每个x，保住2x的概率是5/6，所以贡献的期望是(1/6)×(5/6)×2x = (5/18)×x。把所有x加起来：(5/18)×(1+2+3+4+5+6) = (5/18)×21 = 105/18 = 35/6。

当然，严谨一点也可以直接枚举36种情况。对每个x，y=x只有1种，收益0；y≠x有5种，收益2x。总和就是5×(2+4+6+8+10+12) = 5×42 = 210，除以36还是35/6。两种方法结果一致，但第一种明显更省力，也更容易看出规律。

避坑方面，最典型的就是把'失去'理解成'减去2x'而不是'归零'，或者忘记第一次掷出x的概率1/6，直接拿2x×5/6去平均，那样会算出35/3，完全错。还有同学会误以为第二次掷出不同点的概率是1/5，那是条件概率的陷阱，题目给的是无条件概率1/6。

从考频看，概率基础在题库里共考过2题，覆盖2个考试级别，分别是2013年和2023年各1题，分赛事是NOIP提高组初赛1题、CSP提高级1题。这个考点虽然不常考，但一旦出现，往往就是这种'规则简单、计算陷阱多'的单选题。基于现有数据，暂无足够依据预测未来具体怎么考，但可以肯定的是，只要题目涉及期望或平均收益，大概率还是会绕着'条件概率'和'事件互斥'这两个坑来挖。