GESP 八级 · GESP 202406 C++ 八级 第 15 题

下面程序的输出为（ ）。

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    int cnt = 0;
    for (int x = 0; x <= 10; x++)
        for (int y = 0; y <= 10; y++)
            for (int z = 0; z <= 10; z++)
                if (x + y + z <= 15)
                    cnt++;
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

模拟程序执行过程，逐行跟踪变量变化，特别关注循环边界和递归终止条件。

模拟执行时注意：① 循环变量的起始和终止值；② 递归的边界条件；③ 数据类型转换和精度问题。

【考点】组合计数｜容斥原理｜条件累加

1. 🎯 考纲定位（考点定位） GESP 八级《数学逻辑》模块 3.4 节"组合计数"。命题人把这道题塞进试卷，就是要卡住那些只会写循环不会用数学公式的"死码农"——他们看到三重循环就慌，完全没意识到自己可以用组合数学秒杀。

2. 🧠 解题思维（拆解与通法） 题目本质是求非负整数解个数：$x+y+z \le 15$，且 $0 \le x,y,z \le 10$。用容斥原理：

• 总非负解：$x+y+z+s=15$，$\binom{15+4-1}{4-1}=\binom{18}{3}=816$
• 减去 $x,y,z$ 任一 $>10$ 的情况：每个变量超限等价于 $x'+y+z+s=4$，$\binom{7}{3}=35$，三个变量共 $3\times35=105$
• 答案：$816-105=711$

通法提炼：形如 $x_1+x_2+\dots+x_k \le S$ 的计数，先加松弛变量 $s$ 化为等式 $x_1+\dots+x_k+s=S$，用隔板法 $\binom{S+k}{k}$，再用容斥剔除每个变量越界的子集。

3. 🪤 陷阱拆解（命题人的套路）

• 选项 A($90$)、B($91$)：把 $x+y+z$ 看成了 $x+y$ 或 $x+y+z\le10$，明显数量级不对
• 选项 C($710$)：最阴险！只用了 $\binom{18}{3}$ 却忘了减去超限情况，或者误把 $x+y+z\le14$ 的解数 $\binom{17}{3}=680$ 当成了答案
• 细节陷阱：循环上限是 $10$ 而非 $15$，但容斥时我们要考虑的是 $x,y,z$ 能否超过 $10$——如果上限改成 $15$，超限项就要变成 $x'+y+z+s=0$，解数全为 $0$，答案会变成 $816$。命题人用 $10$ 这个边界值，就是让你必须做容斥，不做就错。

4. 🔄 反命题思维（教练升华）

• 若把条件改成 $x+y+z\le16$，答案变成 $\binom{19}{3}-3\binom{8}{3}=969-168=801$
• 若把三重循环改成二重循环 $x+y\le15$，解数 $\binom{16+2}{2}=153$
• 刷到类似题，先问自己：能不能加松弛变量？超限部分要不要容斥？别一上来就敲循环。