GESP 八级 · GESP 202406 C++ 八级 第 12 题

二项展开式 $(x + y)^n = x^n + n x^{n-1} y + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} y^2 + \ldots + y^n$ 的系数，正好满足杨辉三角的规律。当 $n = 10$ 时，二项式展开式中 $x y^9$ 项的系数是（ ）。

排列组合问题：先判断是否考虑顺序（排列P vs 组合C），再确定是否允许重复。乘法原理分步，加法原理分类。

审题时注意题目要求（选正确还是选错误），避免因审题不清失分。涉及代码的题目要逐行分析变量变化。

【考点】二项式定理

🎯 考纲定位：本题考查二项式定理中特定项系数的计算，是 GESP 八级 C++ 试卷中常见的数学基础题。命题人放这道题，是为了卡住那些只背结论却不会简单推理的学生——他们看到 $n=10$ 就慌神，却忘了 $(x+y)^n$ 展开式中 $x^1 y^{n-1}$ 的系数永远是 $n$。

🧠 解题思维：关键观察是：二项式展开式里，$x^1 y^{n-1}$ 这一项的系数永远是 $n$。因为 $\binom{n}{1} = n$。所以 $n=10$ 时，答案直接是 $10$。这一类题的通法很简单：看到二项式 $(x+y)^n$，立刻定位目标项的 $x$ 和 $y$ 的次数，用组合数公式 $\binom{n}{k}$ 算就行了。

🪤 陷阱拆解：逐个选项拆解：A.5 是把 $\binom{10}{2}=45$ 除以 9 得到的，B.9 是直接 $10-1$，D.8 是误把 $n$ 当成 8。最阴险的是 B，它利用了学生"看到 $y^9$ 就以为系数是 9"的直觉陷阱。如果你只背结论、不理解本质，就会掉进这个陷阱。

🔄 反命题思维：站在命题人视角：如果把 $n=10$ 改成 $n=12$，答案就变成 $12$；如果把目标项改成 $x^2 y^8$，答案就变成 $\binom{12}{2}=66$。刷到类似题时，先问自己"命题人想考我什么"——是考通项公式，还是考组合数计算？