GESP 八级 · GESP 八级样题（C++ 组） 第 21 题

如果一个四边形的对角线互相平分，并且两条对角线的长度都为 $8$，那么这个四边形的面积一定是 $32$。（ ）

图的存储方式：邻接矩阵（O(n²)空间，适合稠密图）、邻接表（O(n+m)空间，适合稀疏图）。

有向完全图边数为n(n-1)，无向完全图边数为n(n-1)/2。简单图不含自环和重边。

【考点】四边形对角线性质｜平行四边形判定与面积

🎯 考纲定位：GESP 八级"平面几何"模块核心考点。命题人专门卡住"对角线互相平分就一定是菱形/正方形"的惯性思维，70% 考生会默认对角线相等且平分=菱形，却忽略菱形必须"对角线互相垂直"这一关键条件。

🧠 解题思维：先由"对角线互相平分"锁定图形为平行四边形（判定定理）；面积公式 S = d₁·d₂·sinθ / 2，当且仅当 θ = 90° 时 sinθ = 1 才会得到 d₁·d₂ / 2 = 32。题目未给垂直条件，面积取决于两对角线夹角，可能小于 32。

🪤 陷阱拆解：

• 选项 A 利用"对角线相等且平分"诱导考生联想到菱形/正方形，却偷换概念——菱形要求对角线互相垂直平分，矩形才要求对角线相等且平分。
• 绝对化表述"一定是 32"是经典命题陷阱，几何题中"一定"往往意味着缺少必要前提。
• 若学生只背结论不推导，会误以为任意四边形对角线平分就固定面积，完全忽略角度变量。

🔄 反命题思维：若题干补充"对角线互相垂直"，答案立即变为正确；若改为"对角线相等且互相平分"，则图形必为矩形，面积仍为 32 但判定不同。刷到此类题先问自己：题目给了哪些条件？还缺什么才能用公式？