GESP 一级 · GESP 202606 C++ 一级 第 15 题

如果正整数 $N$ 只能被 $1$ 和它本身整除，则它是一个质数（或素数）。下面的 C++ 代码用于判断正整数 $N$ 是否为质数（素数）。若 $N$ 是质数，输出 YES，否则输出 NO。横线处不应填入的代码是（ ）。

int N, i;
cin >> N;
if (N <= 1) {
    cout << "NO";
    return 0;
}
for (i = 2; ______; i++) {
    if (N % i == 0) {
        cout << "NO";
        return 0;
    }
}
cout << "YES";

答案B。先分析已有代码的功能，确定输出目标，再反推横线处需要的代码。可用代入法验证。

将每个选项代入横线处验证是最可靠的方法。注意代码的完整逻辑和输出格式。

【考点】循环控制｜素数判定｜边界条件

1) 考纲定位：GESP一级"循环控制"模块的核心题。命题人卡住的是"循环终止条件与质数定义的关系"——很多考生只会写 i < N 或 i <= N，却不懂为什么 i <= N 会漏判合数。

2) 解题思维：

• 先排除 N ≤ 1 的非质数。
• 质数定义：只能被 1 和自身整除。因此只要存在一个 2 ≤ i ≤ N 的因子，N 就是合数。
• 循环从 i = 2 开始，只要 i 还未遇到因子就继续。
• 终止条件决定了"是否遍历到 N"：

* i < N：当 i = N 时停止，漏掉检查 i = N 这一位置；但 N 本身是"自身"，检查 N % N == 0 是必然成立的，所以即使不检查 N 也不会误判。 * i <= N：会检查 i = N 这一位置，N % N == 0 必然为真，于是提前输出 NO，把所有数都判定为合数。 * i <= N / 2：只检查到 N/2，因为若存在因子 i > N/2 且 i < N，则对应的 N/i < 2，不可能。所以足够。 * i*i <= N：只需检查到 sqrt(N)，因为若有因子 i > sqrt(N)，则必有因子 N/i < sqrt(N)，早已被检查过。最优化。

• 因此 i <= N 会错误地判定所有 N 为合数，是绝对错误的。

3) 陷阱拆解：

• 选项 B 的"i <= N"看似"最全面"，实则利用"自身是因子"这一必然事实，让循环在 i = N 时必定触发退出，导致所有数都输出 NO。
• 选项 A 的"i < N"是经典陷阱：很多考生认为"质数定义里包含自身"，所以必须检查到 N，其实检查 N 是多余的，i < N 完全正确。
• 选项 C 和 D 是利用数学性质压缩循环范围，属于进阶优化，但一级题主要考察"是否漏掉因子"，因此 C、D 都正确。
• 最阴险的是"绝对化表述"：B 中的"<=">把边界推到了 N，看似严谨，实则违背了"只要找到一个真因子就判定合数"的初衷。

4) 反命题思维：

• 如果把循环条件改为 i <= N / 2，再在循环结束后输出 YES，答案不变，但考察点从"边界是否包含 N"变成"是否理解因子对称性"。
• 若把条件改为 i * i <= N，且把循环内的判断改为 N % i == 0 && i != N，答案仍为 YES，但会漏掉 N = 2、3 等小质数，因为 sqrt(N) 可能小于 2。
• 刷到类似题时，先问自己："终止条件是否会让 i 取到 N 或 N/2 或 sqrt(N)？"