CSP-S 提高级 · CSP 2026 提高级第一轮 第 4 题

【单选】将 5 封信随机装入 5 个写好地址的信封（每封一个），恰好有 2 封装对的方案数是（ ）。

"恰好 2 封装对"= 先从 5 封里选出对的 2 封（C(5,2) = 10 种），剩下 3 封必须"全部装错"（错排数 D₃ = 3!·(1−1/1!+1/2!−1/3!) = 2 种）。两者相乘即 20。

用 C(5,2)×3! 算成 60（把剩下 3 封当成随便装）；或者忘记"恰好"两字，把"至少 2 封装对"也算进去。

解析

本题考查组合计数与错排（derangement）。

第一步：选出"恰好装对"的那 2 封

5 封信里恰好有 2 封装对，先决定是哪 2 封：C(5, 2) = 5×4/2 = 10 种选法。

第二步：剩下的 3 封必须全部装错

一旦这 2 封被固定，余下 3 封信与 3 个信封必须"没有一个对号"，即求 3 个元素的错排数 D₃：

D₃ = 3! × (1 − 1/1! + 1/2! − 1/3!) = 6 × (1 − 1 + 0.5 − 1/6) = 6 × 1/3 = 2

（也可以直接枚举：设信 3、4、5 对应信封 3、4、5，装错的方案只有 3→4,4→5,5→3 与 3→5,4→3,5→4 两种。）

第三步：相乘

总方案数 = 10 × 2 = 20，选 D。

错排数速记表

递推式：Dₙ = (n−1)(Dₙ₋₁ + Dₙ₋₂)，答题时用这张表最快。

其他选项为什么错

• A. 44 = D₅，那是 5 封全错的方案数；
• B. 24：把"恰好 2 对"当成"剩下 3 封随便装"中的一部分（3! = 6 与 10 的组合算错）；
• C. 10：只算了第一步而漏乘 D₃。

记忆点

• "恰好 k 封装对"的标准分解：C(n, k) × D(n−k)；
• "至少有一封装对"用容斥：总数 − Dₙ；
• 错排的两个等价形式：Dₙ = n!·Σ(−1)^i/i! 与 Dₙ = ⌊n!/e + 0.5⌋（e 为自然常数）。