CSP-S 提高级 · CSP 2026 提高级第一轮 第 3 题

【单选】把 1 到 1000 的所有整数按十进制写出，数字“1”总共出现了多少次（ ）。

把 1～999 写成三位数（001, 002, …, 999），每一位上"1"都恰好出现 100 次，三位合计 300 次；再加上 1000 里的那一个"1"，共 301。

只在"百位"上数（得 100 或 1000 附近的错值）；或者漏掉 1000 中的 1；也容易与"含 1 的数的个数"混淆（那是 271 个，正好是错选 B）。

解析

本题考查按数位分类计数（逐位统计法）。

方法：把 1～999 补齐成三位数来看

将 1～999 写成 001, 002, …, 999，共 1000 个（含 000）三维字符串。对任意一个固定数位（个位 / 十位 / 百位），该位上取 0～9 的机会完全均等，所以：

每一位上出现数字 1 的次数 = 1000 ÷ 10 = 100

三个数位合计：100 × 3 = 300 次。

千万别把"000"多算

为了均等而补上的 000 里一个 1 也没有，不影响计数；真正被统计的仍是 1～999 里的 1。

加上 1000

1000 中有 1 个 数字 1（千位）。 总计 = 300 + 1 = 301，选 C。

其他选项为什么错

• A. 300：漏掉 1000 里的那一个 1；
• B. 271：这是"含 1 的整数个数"，不是"数字 1 出现的次数"——两个概念必须分清（含 1 的数里还有 11、111 这类一次贡献多个 1 的）；
• D. 320：把某一数位多算了一次（如把千位也按 100 次计）。

记忆点

• 逐位统计法（也叫"数字贡献法"）：数字 d 在第 k 位上出现的次数 = ⌊n / 10^k⌋ 相关的分段公式，对任意范围都适用；
• 稳定结论：1～10^m − 1 中每个数字各出现 m·10^(m−1) 次（本题 m = 3 → 300）；
• 注意区分"数字出现的次数"与"含有该数字的整数个数"，这是本考点的经典双子问。