CSP-S 提高级 · CSP 2021 提高级第一轮 第 14 题

设一个三位数 $n= \overline{abc}$， $a, b, c$ 均为 $1\sim 9$ 之间的整数，若以 $a$、 $b$、 $c$ 作为三角形的三条边可以构成等腰三角形（包括等边），则这样的 $n$ 有（ ）个。

拿到题先别急着套公式，脑子里过一遍：a=b、b=c、a=c 三类情况，每类里用三角形不等式筛掉不合法的，最后用容斥把等边三角形重复算的部分扣回来。

最容易栽跟头的就是漏掉 a=c 这一类，很多学生只盯着百位和十位相等或者十位和个位相等，忘了百位和个位相等也能构成等腰三角形。另外就是容斥原理用错，把等边三角形重复减了或者没加回来。还有就是三角形不等式忘了，把两边之和等于第三边的情况也算进去了，其实那是退化三角形，不算真正的三角形。最后就是数字范围搞错，以为 a、b、c 可以是 0，题目明确说了是 1~9。

这道题考的是排列组合、容斥原理和三角形不等式。三位数 n=abc，a、b、c 都是 1~9，要能构成等腰三角形（含等边）。等腰意味着至少两边相等，所以分三类：a=b、b=c、a=c。三角形不等式要求任意两边之和大于第三边，等腰时只要两腰之和大于底边就行。

先看 a=b 的情况。此时两腰是 a、a，底边是 c，不等式就是 2a>c，即 c<2a。a 从 1 到 9 枚举：a=1 时 c<2，c 只能取 1，1 种；a=2 时 c<4，c 取 1,2,3，3 种；a=3 时 c<6，c 取 1~5，5 种；a=4 时 c<8，c 取 1~7，7 种；a≥5 时 2a≥10，c 最大就是 9，所以 a=5~9 这 5 个数每个都对应 9 种 c，共 5×9=45 种。加起来 1+3+5+7+45=61 个。由对称性，b=c 和 a=c 的情况计数也是 61 个。

三类加起来 61×3=183，但等边三角形（a=b=c）被重复算了。等边时 a=b=c，a 从 1 到 9，共 9 个。容斥原理：总数=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A∩B∩C|。这里 A∩B、A∩C、B∩C 都是等边集合，各 9 个；A∩B∩C 也是等边集合，9 个。代入得 183−9−9−9+9=165。

避坑点：千万别漏掉 a=c 这一类，这是很多学生丢分的地方；三角形不等式要卡准，2a>c 是严格大于，等于不行；a、b、c 都是 1~9，不是 0~9。这道题在题库里属于排列组合基础考点，历年考频稳定，2021 年 CSP 提高级就出了这道。未来大概率还会以类似形式出现，比如改成不等边但满足某种倍数关系，或者增加一位数限制。