CSP-S 提高级 · CSP 2025 提高级第一轮 第 13 题

$1$ 到 $1000$ 之间，不能被 $2,3,5$ 中任意一个数整除的整数有多少个？

这道题考的是容斥原理，核心是算出能被2、3或5整除的数有多少个，再用总数减去它。拿到题先想：分别算出单集合、两两交集、三集合交集的个数，按“单加、双减、三加”的规律拼起来。

最容易错在容斥的加减号顺序：三个集合时，单元素集合的和要加，两两交集要减，三集合交集要加，很多同学会漏掉最后的“加三交”或者把两两交集当成加。另外，计算lcm时容易手滑，比如把6写成9，或者把15写成25，导致整除个数算偏。还有，1到1000中能被d整除的个数是向下取整，有人会误以为1000/d直接就是个数，忽略了取整。

本题考查组合数学中的容斥原理，用来解决“至少满足一个条件”的计数问题。核心公式是：|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| − |A∩B| − |A∩C| − |B∩C| + |A∩B∩C|。这里的集合A、B、C分别代表1到1000中能被2、3、5整除的数。题目要求的是“不能被2、3、5任意一个整除”的数，所以思路很清晰：先算出能被至少一个数整除的总数，再用1000减去它即可。

具体怎么算呢？1到N中能被d整除的数的个数就是⌊N/d⌋，直接除法取整。我们先把各个集合的大小列出来：

• |A| = ⌊1000/2⌋ = 500
• |B| = ⌊1000/3⌋ = 333
• |C| = ⌊1000/5⌋ = 200

两两交集对应的是lcm(d1,d2)的倍数。2和3的最小公倍数是6，所以|A∩B| = ⌊1000/6⌋ = 166；2和5的最小公倍数是10，|A∩C| = ⌊1000/10⌋ = 100；3和5的最小公倍数是15，|B∩C| = ⌊1000/15⌋ = 66。

三个集合的交集就是lcm(2,3,5)=30的倍数，|A∩B∩C| = ⌊1000/30⌋ = 33。

现在代入容斥公式：

|A∪B∪C| = 500 + 333 + 200 − 166 − 100 − 66 + 33 = 734。

这就是1到1000中能被2、3或5至少一个整除的数的个数。题目问的是“不能被任意一个整除”，所以答案是1000 − 734 = 266，对应选项A。

命题人挖坑的地方很典型：一是容斥的符号顺序，很多同学背公式时只记得“加减交替”，但容易在三个集合时漏掉最后的“加三交”；二是计算lcm时粗心，比如把6算成9，或者把15算成25，导致整除个数偏差；三是取整的细节，1000/3=333.33…，必须向下取整为333，有人会直接写333.33或者误以为334。这些坑在考试里很容易丢分。

从考频看，“整数与整除”这个知识点在题库里一共考了9题，跨度从2009年到2025年，其中2025年CSP提高级就考了1题，说明这类基础计数题年年都有，而且越来越偏向综合应用。而“排列组合基础”考得更多，2025年单年就考了43题，占比很高，说明组合计数是近年高频考点。容斥原理作为组合计数的核心工具，属于“计数原理”大类，该大类共36题，近年也保持每年3-5题的稳定输出。因此，未来这类题目大概率会继续以“至少满足一个条件”的形式出现，比如换成“不能被2、3、5、7整除”或者“能被其中至少两个整除”，难度不会太大，但符号顺序和lcm计算仍是重灾区。暂无足够依据预测具体年份的题型变化，但建议把容斥的“单加、双减、三加”口诀刻在脑子里，遇到多集合问题先画韦恩图确认关系，再套公式，这样基本不会踩坑。