CSP-S 提高级 · CSP 2025 提高级第一轮 第 1 题

有 $5$ 个红色球和 $5$ 个蓝色球，它们除了颜色之外完全相同。将这 $10$ 个球排成一排，要求任意两个蓝色球都不能相邻，有多少种不同的排列方法？

先排5个红球形成6个空位，再选5个空位插蓝球，用组合数C(6,5)直接算出答案。

很多同学看到C(6,5)会下意识地想成长排列A(6,5)=720，这是把同色球当成不同了；或者误以为红球也要排列，其实红球完全相同只有1种摆法。

这道题考什么

这是一道经典的不相邻排列问题，核心考点是插空法的应用以及组合数与排列数的区分。

概念：插空法与同色球

插空法是处理“不相邻”问题的利器：先把那些可以相邻的元素排好，它们之间以及两端自然形成了若干个“空位”，再把要求不相邻的元素插进去，这样就能保证任意两个新元素中间至少隔着一个旧元素。

另外，题目强调球“除了颜色之外完全相同”，这意味着同色的球之间没有区别。5个红球排成一排，不管怎么换位置，看起来都是同一种情况，所以红球只有1种排法；同理，蓝球只要占住哪几个空位，就只有一种摆法，不需要考虑蓝球内部交换。

命题人怎么挖坑

命题人喜欢在这里设两个坑： 1. 把组合当排列：算出6个空位选5个，容易顺手写成 $A(6,5)=720$，忽略了同色球不区分。 2. 多排红球：以为红球也要全排列，写成 $5!\times C(6,5)$，结果又大了24倍。 这两个错误都会让答案远远偏离正确值。

思考心法：拿到题先想什么

看到“任意两个蓝球不相邻”，第一反应就是：先排红球，再插蓝球。

• 5个红球排好，产生 $5+1=6$ 个空位（两端也算）。
• 蓝球要不相邻，只能每个空位最多放1个。
• 有5个蓝球，就要从6个空位里挑5个放上去。
• 因为蓝球相同，挑哪5个空位就决定了整个排列，所以用组合数 $C(6,5)$。

具体怎么算

$$C(6,5) = \frac{6!}{5!\cdot1!} = 6$$ 所以答案是 6 种，对应选项 C。

避坑再提醒

• 如果题目改成“10个球颜色互不相同”，那就要用 $5!\times A(6,5)$ 了，答案会大很多。
• 如果改成“红球有2种颜色、蓝球有3种颜色”，那红球内部有 $2^5$ 种、蓝球内部有 $3^5$ 种，最后答案就是 $2^5\cdot3^5\cdot C(6,5)$。

记住：先判断同色是否区分，再决定用组合还是排列。

考频与趋势

“排列组合基础”在题库中非常高频，共考过 147 题，覆盖 8 个考试级别（2007-2026）。逐年分布：2007年1题、2008年1题、2009年2题、2010年1题、2014年2题、2016年1题、2017年1题、2019年4题、2020年5题、2021年4题、2022年2题、2023年19题、2024年40题、2025年43题、2026年12题、null年9题。分赛事：GESP 八级58题、GESP 六级26题、GESP 五级18题、CSP 提高级15题、CSP 入门级13题、GESP 七级8题、NOIP 提高组 初赛7题、NOIP 普及组 初赛2题。 “计数原理”共考过 36 题，覆盖 4 个考试级别（2007-2025）。逐年分布：2007年4题、2008年2题、2009年1题、2010年2题、2019年6题、2020年4题、2021年3题、2022年1题、2023年3题、2024年5题、2025年5题。分赛事：CSP 提高级14题、CSP 入门级13题、NOIP 普及组 初赛5题、NOIP 提高组 初赛4题。

预测

从数据看，2023-2025 年排列组合类题目数量明显上升（2025年达到43题），说明这类题目在近年考试中占比很高，命题人倾向于用“同色球不相邻”这种基础但易错的形式考察学生对插空法和组合/排列区分的理解。暂无足够依据预测未来具体题型变化，但可以肯定的是：插空法 + 同色球不区分仍是高频考点，学生务必熟练掌握并警惕“把组合当排列”的陷阱。