CSP-S 提高级 · CSP 2022 提高级第一轮 第 10 题

共有 8 人选修了程序设计课程，期末大作业要求由 2 人组成的团队完成。假设不区分每个团队内 2 人的角色和作用，请问共有多少种可能的组队方案。（ ）。

8 人里挑 2 人组队，题目特意强调不区分角色，这直接指向组合模型。别被数字 8 和 7 一乘就晕，先想清楚{A,B}和{B,A}是不是两种方案，再套用公式 C(8,2) 算数。

最容易栽跟头的地方，就是机械地用 8×7=56 去乘，以为这就是答案。其实这是排列的算法，隐含了‘先选队长再选队员’的顺序，或者‘A 和 B 组队’与‘B 和 A 组队’算两种情况。但题目白纸黑字写了‘不区分每个团队内 2 人的角色和作用’，这意味着{A,B}和{B,A}是同一个团队，顺序不重要。如果你选了 56，说明你忽略了‘不区分’这三个字，把组合题当成了排列题做。

这道题考查的核心知识点是排列组合中的组合（Combination）概念，重点在于区分‘有序’与‘无序’两种情况。

首先把概念用大白话说清楚：排列和组合的区别，关键看选出来的人有没有‘帽子’。如果有分角色，比如选班长和副班长，那 A 当班长、B 当副班长，与 B 当班长、A 当副班长是两种完全不同的方案，这就是排列；如果没有分角色，只是凑个队，那 A 和 B 组队，跟 B 和 A 组队，本质上是一回事，这就是组合。

命题人考这个点，特别喜欢挖‘不区分’这个坑。题目里‘不区分每个团队内 2 人的角色和作用’这句话，就是解题的钥匙。它明确告诉你，顺序无关紧要，{Alice, Bob} 和 {Bob, Alice} 算作同一个方案。

拿到题怎么思考？第一步先抓关键词‘不区分’，立刻判定这是组合问题，不是排列。第二步列公式，从 8 个人里选 2 个，组合数公式是 C(8,2) = 8×7 / (2×1)。第三步算数，8×7 等于 56，除以 2 等于 28。所以答案选 A。

这里要特别提醒一个易错点：很多同学看到 8 和 7，下意识就会想 8×7=56，觉得这就是答案了。为什么错？因为 8×7 这个算式，隐含了一个‘先选一个（8 种），再选一个（7 种）’的过程，这个过程天然带有顺序感，相当于排列 P(8,2)。但题目偏偏说了不分顺序，所以必须除以 2 来消除重复计数。如果你选了 56，说明你要么没读懂题，要么把组合题当成排列题做了。

顺便对比一下：如果题目改成‘选队长和队员’，那就要用排列，答案就是 56；如果改成‘选 3 人组队’，那就是 C(8,3)=56。看到‘不区分’、‘不计顺序’、‘无差别’这些词，基本可以锁定组合模型。

从考频数据来看，排列组合是历年 CSP 和 GESP 的常客。题库共考过 147 题，覆盖 8 个级别。从时间轴上看，2007 年只有 1 题，2008 年 1 题，2009 年 2 题，2010 年 1 题，2014 年 2 题，2016 年 1 题，2017 年 1 题，2019 年 4 题，2020 年 5 题，2021 年 4 题，2022 年 2 题，2023 年突然飙到 19 题，2024 年更是达到 40 题，2025 年有 43 题，2026 年有 12 题，还有 9 题分布在未标注年份。分赛事看，GESP 八级 58 题、六级 26 题、五级 18 题，CSP 提高级 15 题，入门级 13 题，GESP 七级 8 题，NOIP 提高组初赛 7 题，普及组初赛 2 题。数据非常清晰地显示，排列组合在近年尤其是 2023 到 2025 年考频极高，属于高频考点。

基于这个趋势，预测未来：只要题目涉及选人组队、分配任务、奖项归属等场景，大概率还会考排列组合。特别是像这种‘不区分角色’的陷阱，命题人可能会继续用它来区分学生的概念清晰度。因此，复习时要死死抓住‘有帽子没帽子’这个判断标准，看到‘不区分’就立刻转组合，看到‘分角色’就立刻转排列，这是解题的心法。