CSP-S 提高级 · CSP 2019 提高级第一轮 第 6 题

由数字 $1, 1, 2, 4, 8, 8$ 所组成的不同的 $4$ 位数的个数是（）。

拿到这题别急着套公式，先盯着那两对重复的1和8。核心思路是分类讨论：到底用了几个不同的数字？是把1当一对、8当一对，还是两对都凑齐？按‘不同数字个数’这一条线分三类（4个不同、3个不同、2个不同），每类里再算选法和排列，加起来就是答案。

最容易犯的错是把6个数字当成全不同的来做排列数，直接算6选4的排列，结果会多出很多不合法的数。其次是分类时漏掉‘两对重复同时出现’的那一种情况，只算了含一对1或含一对8，导致总数偏少。还有就是在计算含重复元素的排列时，忘记除以重复数字的阶乘（比如一对1要除以2!），或者把组合数和排列数混在一起算，步骤没分清。

CSP 提高级 2019 第 6 题：含重复元素的排列计数

考察知识点

• 排列组合基础：多重集排列公式、分类加法计数原理
• 组合数计算：从含重复元素的集合中选取不同元素的方法数
• 命题视角：命题人喜欢在‘重复元素’和‘位数限制’交叉处挖坑，要求学生先理清‘用了哪些数字’再算‘怎么排’。