CSP-J 入门级 · CSP 2026 入门级第一轮 第 13 题

【单选】数组 a[1..n] 的前缀和数组 s（即 s[i] = a[1] + a[2] + ⋯ + a[i]）满足 s[i] = 3i^2 + i。则 a[10] 的值是（ ）。

前缀和数组的差分就是原数组：a[i] = s[i] − s[i−1]，本题求 a[10] 只需算 s[10] − s[9]，两个平方数一减即可。

直接把 s[10] = 3×100+10 = 310 当成 a[10]（错选 B）；或把 s[i] 当公差、误算成 3×10+1 = 31 之类。

解析

本题考查前缀和与差分的关系。

关键关系

前缀和定义：s[i] = a[1] + a[2] + … + a[i]（且 s[0] = 0）。于是：

a[i] = s[i] − s[i−1]

这正是"差分"的定义：给定前缀和数组，逐项作差即可还原原数组。

代入公式

已知 s[i] = 3i² + i，取 i = 10 与 i = 9：

• s[10] = 3 × 10² + 10 = 300 + 10 = 310
• s[9] = 3 × 9² + 9 = 243 + 9 = 252

a[10] = 310 − 252 = 58，选 C。

其他选项为什么错

• B. 310：把 s[10] 直接当成 a[10]，是最典型的"概念混淆"；
• A. 252：算成了 s[9]；
• D. 61：多减/少减了一项（如用 3(10²−9²) + 1 = 57+4 之类）。

拓展：还能还原出通项

a[i] = (3i² + i) − (3(i−1)² + (i−1)) = 3(2i − 1) + 1 = 6i − 2。 验证：a[10] = 60 − 2 = 58 ✓；a[1] = 4，而 s[1] = 3 + 1 = 4 ✓ 完全吻合。

记忆点

• 前缀和与差分互为逆运算：S 的差分是 a，a 的前缀和是 S；
• 前缀和的价值在于把"区间求和"降到 O(1)：sum(l, r) = s[r] − s[l−1]；
• 配合 diff[] 数组可实现 O(1) 区间加、最后 O(n) 还原，这是高频套路（差分数组）。