CSP-J 入门级 · CSP 2025 入门级第一轮 第 8 题

已知 $f[0] = 1$, $f[1] = 1$，并且对于所有 $n \geq 2$ 有 $f[n] = (f[n-1] + f[n-2]) \% 7$。那么 $f[2025]$ 的值是多少？

别硬算两千多次，模7的斐波那契数列必循环。先列前几项找皮萨诺周期，算出周期后直接取余定位，一步到位。

学生容易把'周期'理解成单个数重复，其实斐波那契由前两项决定，必须找连续两项(f[n],f[n+1])与(f[0],f[1])完全一致才算一个完整周期。另外，很多人会算错2025除以周期后的余数，或者误以为周期是8（看到f[8]=6就以为循环了），导致最后选错。

这道题考查的是模运算下的斐波那契数列规律，核心概念是皮萨诺周期。斐波那契数列定义为f[0]=1, f[1]=1, f[n]=(f[n-1]+f[n-2])%7。因为每一项只由前两项决定，且模7只有7种余数，所以连续两项的组合最多有7×7=49种，必然会在有限步内重复出现。一旦(f[k],f[k+1])与(f[0],f[1])相同，整个数列就会从k+1开始重复，这个k就是周期。命题人喜欢挖的坑就是让学生只盯着单个数字看，或者算错周期长度，导致最后余数取错。拿到题先别急着套公式，老老实实手算前十几项，直到发现重复的连续两项对。计算过程：f[0]=1, f[1]=1, f[2]=2, f[3]=3, f[4]=5, f[5]=1, f[6]=6, f[7]=0, f[8]=6, f[9]=6, f[10]=5, f[11]=4, f[12]=2, f[13]=6, f[14]=1, f[15]=0, f[16]=1。看到f[16]=1且f[17]必然等于1（因为f[16]+f[15]=1+0=1），这时(f[16],f[17])=(1,1)与(f[0],f[1])完全一致，确认周期为16。接下来就是简单的除法取余：2025 ÷ 16 = 126 余 9，所以f[2025]等于f[9]。查表得f[9]=6，对应选项D。这个考点在历年竞赛中很常见，2020到2026年间题库共考了28题，其中2025年就有8题，2026年7题，说明命题人特别偏爱这种模周期问题。趋势上看，考频逐年攀升，尤其是入门级和GESP五级、八级，未来大概率还会以类似形式出现，比如换更大的模数或者让求f[n]的某一位数字。备考时记住这个找周期的方法：不找单个数重复，要找连续两项重复，这是解题的关键心法。