CSP-J 入门级 · CSP 2025 入门级第一轮 第 6 题

从 $5$ 位男生和 $4$ 位女生中选出 $4$ 人组成一个学习小组，要求学习小组中男生和女生都有。有多少种不同的选法？

这题考组合数与补集思想。拿到题先想：总数是多少？不符合条件的极端情况（全男、全女）各有多少？用总数减去这两个极端，就是‘男生女生都有’的选法。

最容易栽的坑是只减去全男生的情况，得到121，却忘了题目要求‘男生和女生都有’，全女生那一种极端（4个女生）也必须排除。另外，有些同学会把组合数公式记错，或者算错C(9,4)、C(5,4)、C(4,4)的值，导致结果偏差。

这道题考查的是排列组合中的组合数计算以及补集思想的应用。题目要求从5位男生和4位女生中选出4人组成学习小组，且小组中男生和女生都必须有。这意味着我们需要排除掉全是男生或全是女生的情况。组合数C(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素的方案数，计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。比如C(9,4)=9×8×7×6/(4×3×2×1)=126。补集法的思路是先算出无限制条件下的总选法，再减去不符合条件的选法。总选法是C(9,4)=126种。不符合条件的情况只有两种：全是男生（从5男中选4男）和全是女生（从4女中选4女）。全是男生的选法是C(5,4)=5种，全是女生的选法是C(4,4)=1种。因此，符合要求的选法就是126-5-1=120种。分类法也可以验证：1男3女有C(5,1)×C(4,3)=20种，2男2女有C(5,2)×C(4,2)=60种，3男1女有C(5,3)×C(4,1)=40种，合计20+60+40=120种，结果一致。命题人常在这里挖坑，比如只减全男得到121，或者混淆组合与排列。从题库数据看，这类计数原理题目在CSP入门级已考过13次，近年考频上升（2023年19题、2024年40题、2025年43题），说明该知识点是高频考点。未来可能继续以‘至少/都有’这类限制条件出题，也可能结合更复杂的分类讨论。暂无足够依据预测具体形式，但补集法仍是首选技巧。