CSP-J 入门级 · CSP 2025 入门级第一轮 第 11 题

一个 $8 \times 8$ 的棋盘，左上角坐标为 $(1,1)$，右下角为 $(8,8)$。一个机器人从 $(1,1)$ 出发，每次只能向右或向下走一格。要到达 $(4,5)$，有多少种不同的路径？

这题考的是组合数里的经典网格路径模型。拿到题先别急着算，心里要过一遍：从起点到终点，横着走几步、竖着走几步，加起来就是总步数。路径数就是在这总步数里挑出哪几步是横着走的——用组合数公式 C(总步数，横步数) 直接套，简单粗暴又准。

最容易掉进两个坑：一个是坐标差算错，从(1,1)到(4,5)横向差是3、纵向差是4，别把终点坐标当步数；另一个是混淆排列和组合，向右的三步之间完全没区别，不能排顺序，必须用组合数 C(7,3)。

这道题考查排列组合中的网格路径计数问题，是 CSP 入门级里非常典型的基础题型。命题人喜欢用这种看似简单、实则容易在细节上挖坑的题目来区分学生是否真正理解了‘步数’与‘坐标’的关系，以及‘组合’与‘排列’的本质区别。

我们先来把概念捋直：在网格中从左上角走到右下角，如果每次只能向右或向下，那么从 (1,1) 走到 (m,n) 所需的总步数就是横向走 (m-1) 步加上纵向走 (n-1) 步。因为每一步都是确定的（只能向右或向下），所以不同的路径数等价于在这些总步数中，选出哪几步是向右走的方案数，这就是组合数 C(总步数, 右步数)。

回到本题：起点 (1,1)，终点 (4,5)。横向需要走 4-1=3 步，纵向需要走 5-1=4 步，总共 3+4=7 步。问题转化为：在 7 步里选 3 步向右（剩下 4 步自然向下），方案数就是 C(7,3)。计算一下：C(7,3) = 7×6×5 / (3×2×1) = 210 / 6 = 35。当然，选 4 步向下也是 C(7,4)，结果一样，这可以用来验算。

这里要特别提醒几个高频易错点。第一，很多学生会直接把终点坐标当成步数，误以为横向要走 4 步、纵向 5 步，总步数 9，算出 C(9,4)=126，完全跑偏。一定要记住：步数是坐标差，不是坐标本身。第二，容易混淆排列和组合。比如想当然地用 P(7,3) 或 P(7,4)，那是把向右的三步当成有顺序的（比如第一步右、第二步右、第三步右，和第二步右、第一步右、第三步右当成不同路径），但实际上在网格上，只要向右的三步位置确定了，路径就唯一确定了，顺序无关紧要，所以必须用组合数。第三，计算时容易漏掉分母的阶乘，或者算错乘法，比如把 7×6×5 算成 200 之类的低级错误，导致答案选错。建议心算时先约分：7×6×5 除以 3×2×1，6 和 3、2 约掉剩 1，7 和 5 不变，直接得 35。

从考频数据来看，排列组合基础在题库中一共考过 147 题，覆盖从 2007 到 2026 年的所有考试级别，其中 2025 年考了 43 题，2024 年考了 40 题，2023 年考了 19 题，呈现明显的上升趋势，说明这类题目越来越受命题人青睐。在 CSP 入门级中，排列组合基础考了 13 题，而本题正是这类题型的代表。计数原理单独考了 36 题，其中 CSP 入门级占了 13 题，说明入门级对这类基础概念掌握程度的要求很高。

基于这个趋势，我预测未来几年 CSP 入门级和 GESP 六级、五级考试中，网格路径问题仍会高频出现，而且可能会稍微增加一点变化，比如加入简单的障碍物或者要求反向思考（从终点往回走），但核心还是考查组合数的运用和坐标差的计算。暂时没有足够的数据支撑更具体的题型变化预测，但掌握这个基础模型是应对这类题目的关键。

总结一下：这题答案选 B，35 种路径。解题心法就是两步：先算坐标差得总步数，再用组合数选方向。只要避开坐标差和排列组合这两个坑，这题就是送分题。