CSP-J 入门级 · CSP 2024 入门级第一轮 第 3 题

某公司有 $10$ 名员工，分为 $3$ 个部门：A 部门有 $4$ 名员工，B 部门有 $3$ 名员工，C 部门有 $3$ 名员工。现需要从这 $10$ 名员工中选出 $4$ 名组成一个工作小组，且每个部门至少要有 $1$ 人。问有多少种选择方式？（ ）

这道题求的是从三个部门选人且每个部门至少一人的组合数，核心思路是先保证每部门至少一人，再把剩下的一人分配到任意一个部门，最后把三种分配情况的结果加起来。

最容易掉进的坑是直接用总数 C(10,4) 去减掉不符合条件的情况，比如减掉‘某一部门没人’的情形。但这里要注意，当某个部门人数为 0 时，剩下的 4 人可能全部来自另外两个部门，导致这些‘不符合条件’的情况之间会有重叠（例如 A 没人且 B 没人，意味着 4 人全来自 C，这种情况在减掉 A 没人时算了一次，减掉 B 没人时又算了一次），直接相减会重复扣除，结果偏小。正确的做法就是按人数分配分类讨论，避免重叠。

考点与概念

本题属于排列组合中的\"带限制的组合\"问题。核心概念是\"分类加法计数原理\"：完成一件事有若干类办法，每一类办法内部又有若干步，先算每一类的取法数，再把各类数相加。

命题视角

命题人喜欢把\"至少一个\"这种约束藏在人数分配里，让你不能直接用总组合数减去反面情况，因为反面情况往往有重叠。这道题就是典型：总共有10人，选4人，要求A、B、C三个部门都至少有1人。如果直接算\"C(10,4) - (A没人) - (B没人) - (C没人)\"，会发现\"A没人且B没人\"这种情况被减了两次，必须用容斥原理修正，计算量反而变大。命题人显然希望学生用更直观的\"先保底，再分配\"的思路。

思考心法

拿到题先想：\"要满足每部门至少1人，那最少每人出1人，已经用了3人，还剩1人。\"这剩下的1人可以去A、可以去B、也可以去C，只有这三种可能。于是问题转化为：在每种可能下，从各部门现有人员里选对应数量的人有多少种。

具体计算

A部门有4人，B、C各有3人。

• 情况1：A出2人，B出1人，C出1人。取法数 = C(4,2)×C(3,1)×C(3,1) = 6×3×3 = 54。
• 情况2：A出1人，B出2人，C出1人。取法数 = C(4,1)×C(3,2)×C(3,1) = 4×3×3 = 36。
• 情况3：A出1人，B出1人，C出2人。取法数 = C(4,1)×C(3,1)×C(3,2) = 4×3×3 = 36。

把三种情况加起来：54 + 36 + 36 = 126。所以正确答案是 B。

避坑提醒

千万别用\"C(10,4) - (A没人) - (B没人) - (C没人)\"直接算，那样会重复减去\"A和B都没人\"或\"A和C都没人\"等重叠情形，导致结果偏小。这道题的\"至少一个\"约束正好对应\"先保底，再分配\"的分类讨论，这是最稳妥、最不容易出错的路径。

考频与趋势

排列组合基础在题库中已考过147题，覆盖8个级别，近年考频持续走高：2024年40题、2025年43题，说明这类题目是高频考点，且难度在稳步提升。计数原理单独考了36题，其中CSP入门级就占了13题，可见入门级非常偏爱此类\"带限制\"的组合题。

预测

基于2024年40题、2025年43题的连续高位以及入门级13题的占比，未来几年CSP入门级很可能会继续把\"至少一个\"\"至多一个\"这类限制作为单选或填空的常客，甚至可能出现\"每部门至少2人\"等稍微强化一点的变式。暂无足够依据预测具体年份或题型细节，但可以肯定的是，掌握\"先保底再分配\"的分类思想是应对这类题目的关键。