CSP-J 入门级 · CSP 2024 入门级第一轮 第 19 题

三、完善程序（单选题，每小题 3 分，共计 30 分）

第 1 题

（判断平方数） 问题：给定一个正整数 $n$，希望判断这个数是否为完全平方数，即存在一个正整数 $x$，使得 $x$ 的平方为 $n$。

试补全程序。

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

bool isSquare(int num) {
    int i = ___①___;
    int bound = ___②___;
    for (; i <= bound; ++i) {
        if (___③___) {
            return ___④___;
        }
    }
    return___⑤___;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    if (isSquare(n)) {
        cout << n << " is a square number" << endl;
    } else {
        cout << n << " is not a square number" << endl;
    }
    return 0;
}

1. ① 处应填（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. ② 处应填（ ） A. (int)floor(sqrt(num))-1 B. (int)floor(sqrt(num)) C. floor(sqrt(num/2))-1 D. floor(sqrt(num/2)) 3. ③ 处应填（ ） A. num = 2 * i B. num == 2 * i C. num = i * i D. num == i * i 4. ④ 处应填（ ）（本题有多个可能选项）

（本题为阅读程序 / 完善程序，完整题目与测试数据见平台）

拿到题先想：完全平方数就是存在整数 x 让 x²=n。枚举？从 1 起往上试，但试到哪儿停？直接试到 √n 就行，因为再大 i² 肯定超过 n。上界用 floor(sqrt(n))，循环里只要 i*i==n 就立刻返回 true，跑完都没命中就返回 false。

最容易栽跟头的地方是第③空，把比较符号写成赋值符号 num=i*i，结果条件永远为假，函数永远回 false。还有④⑤两空，找到时该回 true 却顺手写了 false，或者没找到时回 true，逻辑全反了。上界如果算错成 num/2 或者 floor(sqrt(num))-1，会漏掉刚好是平方数的情况（比如 4 的上界算成 1，直接错过 2²=4）。

这道题考查的是枚举法判断完全平方数，属于数论基础与算法枚举的结合点。命题人喜欢在这里挖坑：一是上界算错，二是把比较和赋值搞混，三是 return 的真假弄反。我们一步步把坑填平。

1. 概念与思路 完全平方数的定义很简单：存在一个正整数 x，使得 x 的平方等于给定的 n。要判断 n 是不是完全平方数，最直接的想法就是枚举可能的 x。x 从 1 开始往上试，只要试到某个 i 满足 i*i == n，那就证明 n 是完全平方数，直接返回 true；如果试遍了所有可能的 x 都没找到，那就说明 n 不是完全平方数，返回 false。

2. 确定枚举范围（上界） 枚举不能无休止地进行，必须有一个停止的界限。显然，当 i 超过 sqrt(n) 时，i*i 一定大于 n，不可能再等于 n 了。因此，我们需要遍历 i 从 1 到 floor(sqrt(n))。在 C++ 中，sqrt 返回的是 double 类型，需要强制转换为 int 并向下取整，即 (int)floor(sqrt(num))。如果上界算小了（比如漏掉了刚好是平方数的情况），或者算错了（比如写成 num/2），都会导致程序出错。所以第②空必须填 B 选项。

3. 初始化与循环结构 既然要从 1 开始枚举，第①空自然填 A 选项 1。循环条件 i <= bound 保证了我们会检查到上界。注意，这里用的是 <=，而不是 <，因为上界本身可能就是答案（比如 n=4，上界是 2，2*2=4 正好成立）。

4. 判断条件与返回值 循环体内，我们需要判断当前的 i 是否满足 i*i == n。这里有两个极易混淆的点：

• 比较符号：C 语言中 = 是赋值，== 才是相等比较。如果填成 num = i * i（选项 A），相当于把 i*i 赋给 num，然后判断这个赋值表达式的结果（非零即为真），这逻辑完全不对。必须填 D 选项 num == i * i。
• 返回值：一旦找到满足条件的 i，说明 n 是完全平方数，函数应该立即返回 true（选项 C）。如果没找到，循环自然结束，最后返回 false（选项 D）。

5. 命题人的挖坑视角 这道题虽然简单，但命题人很狡猾。第③空给了一个陷阱选项 A，就是把比较符号写成赋值，这是初学者最容易犯的错误。第④空虽然官方答案给了 C 和 A 两个选项（可能是排版或逻辑上的宽容），但核心是找到就回 true。第⑤空如果填成了 true，那整个逻辑就反了。另外，上界如果填成 (int)floor(sqrt(num))-1（选项 A），对于 n=4 这种完全平方数，上界就变成了 1，循环只检查了 1*1=1，直接漏掉了 2*2=4，导致误判为不是完全平方数。这些都是典型的“会算但算错”的坑。

6. 考频与趋势分析 从题库数据来看，算法类题目总共考过 7 题，覆盖 4 个级别，其中 2024 年考了 2 题，2025 年考了 1 题，说明这类基础算法题在入门级和普及组中依然高频出现，且逐年分布较为均匀，没有明显的断档。枚举法更是题库中的常客，共考过 159 题，覆盖 9 个级别，2024 年考了 6 题，2025 年考了 6 题，2026 年甚至考了 13 题，呈现明显的上升趋势，说明枚举思想在各类竞赛中越来越受重视。数论基础类题目共 28 题，2024 年考了 3 题，2026 年考了 11 题，也显示出数论相关考点在近期考试中的活跃度。

7. 预测 基于上述数据，枚举法和数论基础在 CSP 入门级、NOIP 普及组以及 GESP 考试中属于核心考点，且近年考频不降反升。未来（2026 及以后）这类题目仍会频繁出现，命题形式可能更加灵活，比如结合其他基础算法（如二分查找、贪心）进行综合考察，或者在数据范围上增加对边界情况的考验（如极大数、极小数）。因此，学生必须熟练掌握枚举的上界计算、条件判断以及返回值逻辑，不能仅凭直觉做题。

8. 完整代码与验证 将上述分析填入代码，得到的完整函数如下：

bool isSquare(int num) {
    int i = 1;
    int bound = (int)floor(sqrt(num));
    for (; i <= bound; ++i) {
        if (num == i * i) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

拿几个典型数据验证一下：

• n=4：bound=2，i=1 时 1*1!=4，i=2 时 2*2==4，返回 true，正确。
• n=5：bound=2，i=1,2 都不满足，循环结束返回 false，正确。
• n=9：bound=3，i=3 时 3*3==9，返回 true，正确。
• n=10：bound=3，i=1,2,3 都不满足，返回 false，正确。

所有测试均通过，说明逻辑无误。

总结 这道题看似简单，实则涵盖了枚举法的核心要素：确定范围、编写循环、条件判断、返回值。命题人喜欢在细节处设坑，如比较符号、上界计算、真假返回值等。学生在复习时，不仅要记住“枚举到 sqrt(n)”，更要理解为什么是 sqrt(n)，以及每一步代码的具体含义。只有把这些细节吃透，才能在考试中稳稳拿下这类题目，避免因为粗心而丢分。