CSP-J 入门级 · CSP 2022 入门级第一轮 第 19 题

三、完善程序（单选题，每小题 $3$ 分，共计 $30$ 分）

（1）（枚举因数）从小到大打印正整数 $n$ 的所有正因数。

试补全枚举程序。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    int n;
    cin >> n;

    vector<int> fac;
    fac.reserve((int)ceil(sqrt(n)));

    int i;
    for (i = 1; i * i < n; ++i){
        if (①){
            fac.push_back(i);
        }
    }

    for (int k = 0; k < fac.size(); ++k){
        cout << ② << "";
    }
    if (③) {
        cout << ④ << "";
    }
    for (int k = fac.size() - 1; k >= 0; --k){
        cout << ⑤ << "";
    }
}

①~⑤处应填（ ）

这题核心就是枚举因数，只需循环到 sqrt(n)。小于 sqrt(n) 的因子存起来，大于 sqrt(n) 的因子用 n/因子对称得到，中间若遇到完全平方数单独处理一次，最后按从小到大输出即可。

最容易错的是循环条件写成 i*i<=n，这样会把 sqrt(n) 重复存入 fac，导致后面输出时 sqrt(n) 出现两次；还有完全平方数的判断时机，必须在循环结束后用当前的 i 去判，而不是用 i-1。另外输出顺序一定要严格从小到大，先输出 fac 里的，再判中间，最后倒序输出 n/fac，否则直接丢分。

考点定位：这是一道典型的枚举因数题，考查循环边界控制、整除判断、完全平方数特殊处理以及输出顺序。在 CSP 入门级里，这类题每年必考，2022 年就是 1 题，但枚举法在题库里总共出现过 159 次，覆盖从 2009 到 2026 年的所有级别，尤其是 CSP 入门级就占了 133 题，说明命题人特别爱在基础阶段挖这个坑。整数整除判断则考了 9 次，其中入门级就 3 次，可见这是基本功中的基本功。命题人往往喜欢把循环条件、判断对象、输出逻辑拆成几个空，让学生一步步去验证，而不是直接给代码。本题就是把循环条件、判断对象、完全平方数判断、中间因子输出、对称因子输出这五个环节拆开，考的就是你是否真的理解枚举因数的对称性。

思路拆解：我们要从小到大打印 n 的所有正因数。直接枚举 1 到 n 太慢，所以只枚举到 sqrt(n)。对于每个 i，如果 i 能整除 n，那么 i 和 n/i 都是因数。当 i < sqrt(n) 时，i 和 n/i 是两个不同的数，i 小 n/i 大；当 i = sqrt(n) 时，i 和 n/i 是同一个数，只算一次。因此程序分三步：先收集所有小于 sqrt(n) 的因数，再判断 sqrt(n) 是否恰好是整数（完全平方数），最后倒序输出对应的较大因数。

逐空推理：

第一个空在循环条件里：for (i = 1; i * i < n; ++i)。这里故意写成 i*i < n，意味着循环只执行到 i 满足 i*i < n 的最大整数，也就是 i < sqrt(n)。所以 i 永远不会等于 sqrt(n)，sqrt(n) 不会在循环里被处理。那么循环体内只需要判断 i 是否能整除 n，即 n % i == 0。选项 B 是 n % i == 1，这永远不成立（余数只能是 0 或大于 0 的数，不可能等于 1 且同时整除），选项 C 和 D 把 i-1 当成除数，逻辑完全跑偏。因此①只能选 A：n % i == 0。

第二个空是输出 fac 里的元素：for (int k = 0; k < fac.size(); ++k) cout << ② << " "; fac 里存的是所有小于 sqrt(n) 的因数，按从小到大的顺序，所以直接输出 fac[k] 即可。选项 A 是 n / fac[k]，这是大于 sqrt(n) 的因数，放这里会乱序；选项 C 和 D 更是莫名其妙。所以②选 B：fac[k]。

第三个空是判断完全平方数：循环结束后，i 已经停在第一个不满足 i*i < n 的值，也就是 i*i >= n。如果 n 是完全平方数，那么 i*i 一定等于 n；如果不是，i*i 一定大于 n。因此判断条件应该是 i*i == n。选项 A 用 i-1，选项 B 用 (i-1)*i，选项 D 用 i*(i-1)，这些都不对。所以③选 C：i*i == n。

第四个空是输出完全平方数时的中间因数：如果 i*i == n 成立，说明 sqrt(n) = i，这个数还没输出过，要单独输一次。因为 fac 里只存了小于 sqrt(n) 的因数，i 本身不在 fac 里，所以直接输出 i。选项 A 是 n-i，选项 B 是 n-i+1，选项 C 是 i-1，都不对。所以④选 D：i。

第五个空是输出大于 sqrt(n) 的因数：fac 里的元素从小到大，对应的 n/fac[k] 就是从大到小，所以要倒序遍历 fac，输出 n / fac[k]。选项 B 是 fac[k]，那是小于 sqrt(n) 的，放这里会重复；选项 C 和 D 同样逻辑错误。所以⑤选 A：n / fac[k]。

验证示例：拿 n = 12 跑一遍。循环 i=1,2,3 时 i*i < 12 成立，且 12%1=0,12%2=0,12%3=0，所以 fac 里依次 push 1,2,3。i=4 时 4*4=16 > 12，循环结束。此时 i=4，判断 i*i==12 不成立，不输出中间值。倒序输出 n/fac[k]：12/3=4,12/2=6,12/1=12。最终结果 1 2 3 4 6 12，完全正确。

易错点再强调：很多学生会把循环条件写成 i*i <= n，这样 i 会走到 sqrt(n)，在循环里就把 sqrt(n) 也 push 进了 fac，导致后面输出时 sqrt(n) 出现两次，或者判断 i*i==n 时 i 已经变了，逻辑全乱。还有学生会在判断完全平方数时用 i-1，因为循环结束时 i 是第一个不满足 i*i < n 的数，i-1 才是最后一个满足的数，但 i-1 不一定等于 sqrt(n)，比如 n=12，i=4，i-1=3，3*3=9≠12，用 i-1 判断永远错。这些坑都是命题人精心设计的，必须细心。

考频与趋势：枚举法在题库里总共 159 次，逐年分布显示 2026 年考了 13 题，2025 年 6 题，2024 年 6 题，2023 年 5 题，说明近五年枚举类题目明显增多，命题趋势是往基础算法回归。整数整除考了 9 次，入门级占 3 次，说明这类基础判断依然是高频考点。基于这个趋势，未来 CSP 入门级很可能继续加大枚举、整除、简单循环控制的比重，甚至可能出现更复杂的枚举优化题（比如枚举约数和、枚举质因数等）。暂无足够依据预测具体年份的题目形式，但可以肯定的是，掌握枚举因数的对称性和边界处理是必须的基础。

总结：这道题看似简单，实则把枚举因数的核心逻辑拆成了五个细节，考的就是你是否真正理解循环边界、整除判断、完全平方数处理以及输出顺序。只要抓住“小于 sqrt(n) 存，等于 sqrt(n) 单独判，大于 sqrt(n) 对称出”这一主线，逐个空验证，就能稳稳拿分。