CSP-J 入门级 · CSP 2023 入门级第一轮 第 6 题

小明在某一天中依次有七个空闲时间段，他想要选出至少一个空闲时间段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个空闲的时间段让他休息。则小明一共有（）种选择时间段的方案。

这题核心是‘间隔压缩’：既然每两个选中之间必须空2个，那就先把这些‘强制空位’先占上，把剩下的位置当成新的编号，再直接算组合数。

最容易掉进两个坑：一是把‘至少空2个’误读成‘间隔3个’，算出来会偏大；二是忘记题目要求‘至少选1个’，直接套公式把空集也算进去，结果会多3种。

问题转化

7个空闲时间段（编号1-7），选出k个，要求任意两个选中之间至少有2个未被选中的。 设选中的时间段位置为 a₁ < a₂ < … < aₖ，则要求 a_{i+1} - a_i ≥ 3（相邻选中之间至少隔2个空闲）。

隔板法（间隔压缩）

关键技巧：把每两个选中之间‘必须空’的那2个位置先拿走，剩下的位置重新编号，问题就变成在更短的序列里随便选k个了。

• 选1个：从7个里任选，C₇¹ = 7。
• 选2个：先预留2个间隔位，剩下7-2=5个位置，从中选2个，C₅² = 10。
• 选3个：预留2×2=4个间隔位，剩下7-4=3个位置，从中选3个，C₃³ = 1（只能是1,4,7）。
• 选4个及以上：最少需要1 + 3×3 = 10个位置，超过7，不可能。

总计

7 + 10 + 1 = 18种，答案为B。

命题视角与易错点

命题人喜欢考‘间隔压缩’这种把约束转化为组合数的技巧，同时设陷阱：要么把间隔数搞错（把≥3当成≥4或≥2当成≥3），要么漏掉‘至少选1个’的条件，把空集也算进去（空集满足间隔条件，但题目不允许）。正确做法是先压缩再组合，最后把k=0的情况剔除。

考频与趋势

排列组合基础在题库共考过147题，覆盖8个考试级别（2007-2026）；逐年分布：2007年1题、2008年1题、2009年2题、2010年1题、2014年2题、2016年1题、2017年1题、2019年4题、2020年5题、2021年4题、2022年2题、2023年19题、2024年40题、2025年43题、2026年12题、null年9题；分赛事：GESP八级58题、GESP六级26题、GESP五级18题、CSP提高级15题、CSP入门级13题、GESP七级8题、NOIP提高组初赛7题、NOIP普及组初赛2题。计数原理共考过36题，覆盖4个考试级别（2007-2025）；逐年分布：2007年4题、2008年2题、2009年1题、2010年2题、2019年6题、2020年4题、2021年3题、2022年1题、2023年3题、2024年5题、2025年5题；分赛事：CSP提高级14题、CSP入门级13题、NOIP普及组初赛5题、NOIP提高组初赛4题。

预测

从2019年起，排列组合类题目在入门级和GESP中级别中明显增多，2023-2025年更是密集出现（2023年19题、2024年40题、2025年43题），说明命题组正在加大对该知识点的考察力度，且更倾向于用‘间隔压缩’‘隔板法’这类需要转化视角的题目。因此，未来几年CSP入门级和GESP五级、六级大概率仍会高频出现此类题型，难度不会降低，但形式可能会更灵活（例如增加‘至少空3个’或‘不能相邻’等变体）。暂无足够依据预测具体年份的题量，但趋势是持续上升。