CSP-J 入门级 · CSP 2023 入门级第一轮 第 14 题

一个班级有 $10$ 个男生和 $12$ 个女生。如果要选出一个 $3$ 人的小组，并且小组中必须至少包含 $1$ 个女生，那么有多少种可能的组合?()

这题别急着分情况算，太容易算错。直接算总数，再减去全是男生的情况，一步到位。

学生最容易犯的错误是死磕分情况：1女2男、2女1男、3女，虽然理论上没错，但计算量大，C(12,1)*C(10,2)这种乘法容易按错，或者把组合数公式记混。还有人是看到“至少1个女生”就下意识想加，忘了补集法是“减”。另外，算C(22,3)时，22*21*20除以6，有人会先约分约成22*7*10，结果算成1540没错，但中间步骤写错导致最后减120时出错。补集法才是考场上的保命招数。

这道题考的是排列组合里的组合数计算，核心技巧是补集法。题目要求选3人小组且至少1个女生，直接算“至少1个女生”的情况要分三类（1女2男、2女1男、3女），计算繁琐且易错。命题人特别喜欢在这种题里挖坑，就是让你别走弯路，用总数减去不符合条件的（全是男生）来解。拿到题先想：总共有22人，选3人有多少种？再想：全是男生的情况有多少种？两者相减就是答案。思考心法就是“总数减特例”，具体计算时，C(22,3)等于22×21×20÷6，心算一下22×21是462，462×20是9240，除以6得1540。全是男生的C(10,3)等于10×9×8÷6，10×9是90，90×8是720，除以6得120。最后1540减去120，就是1420。避坑提醒：千万别因为题目有“女生”两个字就只算女生的组合，或者把组合数公式当成排列数公式用（比如多乘了阶乘）。考频趋势上看，排列组合基础在题库里是高频考点，2023年考了19题，2024年更是飙到40题，2025年有43题，说明这类题在入门级和GESP考试中越来越受重视，命题人也在加大考察力度。预测未来，这种“至少一个”或“至多一个”的补集题型还会继续出现，尤其是GESP六级和CSP入门级，大概率会结合更复杂的条件（比如性别和年龄混合限制）来考，但解题思路依然是补集法最稳妥。所以这道题选A，1420种。